LIVRE V

PROPOSITION VII

Toute réduite -p- est une fraction irréductible.

En effet, si l'on considère la réduite suivante-^, on aura

(pr.6).

et, par suite, PQ'—QP'=± 1 . Il en résulte que tout divi- . seur S commun à Pet P' divise l’unité; donc S = 1 , P et P' sont premiers entre eux et la fraction ^ est irréductible.

PROPOSITION VIII

Une réduite quelconque approche plus de la frac-

tion continue que la réduite précédente -p-.

En désignant par la réduite suivante et par r le quotient entier correspondant à celte réduite, on a (pr. 5 )

R Qr + P R' “ Q'r+P' ’

Pour déduire de la valeur exacte x de la fraction continue, il suffit d’y remplacer r par '■+777^; donc, en désignant par y ce dernier nombre, on aura

Qÿ-FP .

CKy + F ’

d’où l’on déduit

P Qy+P P (OP'-PO')y

Pt X - -2- = Qy+P 9 = PQ -QP' y' Q'y + P' Q' Wy+F)-

428 CUHPLÉMENT D’AHITHHÉTigDE.

Or y est plus grand que l’unité et (y au moins égal à P' (pr.5,cor.); donc la seconde différence a une valeur absolue plus petite que la première ou, autrement, la réduite diffère moins de la fraction continue que la réduite précédente

Corollaire. Les différences x — ^et x — pétant de signes contraires, et la réduite -^approchant plus dex que-p, , on voit, comme précédemment (pr.Seti), que 1° la valeur de X est comprise entre deux réduites consécutives quelconques; 2® les réduites successives de rang impair augmentent, et celles de rang pair diminuent.

PROPOSITION I X

L’erreur que l’on commet, en prenant une réduite-^ pour valeur approchée d’une fraction continue, est moindre que l’unité divisée par le produit îles dénominateurs de cette réduite et de la suivante , et plus grande que l’unité divisée par le double de ce même produit.

1“ La valeur exacte x de la fraction continue étant comprise entre la réduite et la réduite suivante ■%, l’erreur commise en prenant pour valeur approcliée de x, est moindre que la différence de ces deux réduites (pr.6).

2® La valeur de x étant moins approchée de que de (pr.8), la moyenne arithmétique ^ -^) de ces deux

fractions est comprise entre x et-^; donc la différence entre X et ^ est plus grande que la différence entre cette moyenne et-^; donc l’erreur commise en prenant -|r au lieu de x est plus grande que .

Remaroüe. Ces deux limites de l’erreur que l’on commet en prenant une réduite pour valeur approchée d’une fraction continue, peuvent aussi se déduire de la valeur ~qW »+p') différence entre et (pr-S), en obsc*r-