LIVRE V

vant que PQ'— QP'= ± 1 et que le nombre y étant compris entre r et r + 1 , on a (j'y + P' > Q'r + P', Q'(Q'y + P')>Q'R' et Q' (O'y + P') < (R' + Q') < 2Q'R'.

Corollaire. L'erreur que Con cûtnmel en prenant une réduite pour valeur approchée d’une fraction continue est moindre que (unité divisée par te carré du dénominateur de cette réduite. Car le dénominateur Q' étant au moins égal à P' (pr.5,cor.), on a = ou <

PROPOSITION X

On peut obtenir exactement ou avec autant d'approximation qu'on voudra la valeur cT un nombre exprimé par une fraction continue.

1° Lorsque le nombre dont il s’agit est commensurable, la fraction continue se termine (pr. 1) et on peut exprimer sa valeur exacte par une fraction ordinaire.

2' Le nombre dont il s’agit étant incommensurable, supposons qu’on en demande une valeur approchée à moins di’un nombre donné ^ aussi petit qu’on voudra. Désignant par ;; le dénominateur de ia réduite qui exprimera la valeur demandée, il suffit de déterminer:; de manière que l’on ait ( pr. 9, cor. ) ^ = ou < « ; d’où l’on déduit z — ou > v/-^ ; or les dénominateurs des réduites successives sont des nombres entiers qui augmentent indéGniment, donc on pourra toujours obtenir une réJuite dont le dénominateur Z soit égal ou supérieur à .

PROPOSITION XI

Lorsqu’une fraction — apjyroche plus de la valeur \ d'une fraction continue qu une réduite le dénominateur de la fraction est plus grand que celui de cette réduite.

COMPLEMENT D AHITHMETIQUE.

La fraction^, approchant plus de x que-^, et -Rapprochant plus de X que la réduite précédente R (pr. 8), Aapproche plus de x que ~ . Or a; est compris entre — et -® 7 -; donc, à plus forte raison , “,est compris entre ces deux réduites, et on a

<x P Q aP'-Pa' ^ 4

en ne considérant que les valeurs absolues des différences que l’on compare. Or, les fractions -pétant inégales , le numérateur a P' — P a' n’est pas nul ; donc sa. valeur absolue est au moins égale à l’unité, et la relation précédente exige qu’on ait P'a'>P'(y ou a'xy.

Remarque. On prouverait de même que le numérateur a delà fraction Rst plus grand que le numérateur Q de R en observant que “étant compris entre ^et ^ , l’inverse-de la première fraction est compris entre les inverses^ et ^ des deux autres.

PROPOSITION XII

Lorsqu'une fraction approche plus de la valeur x d’une fraction continue qu'une réduite ^ et dans le même sens, le dénominateur de cette fraction est plus grand que celui de la réduite suivante — .

La fraction approchant plus de ar que |r et danÿ le même sens, est comprise entre a; et ; donc on a

en ne considérant que les valeurs absolues des diflférences que l’on compare. Or

Qy+p

Q'y-éF’