LIVRE V

y étant un nombi'e plus grand que le quotient entier r correspundaut à (pr. 8) ; donc

^ ^ Qy+P . - 1 .

d’où l’on conclut »' > Q'y+F; or on a Q'y+P'>R', donc a'>R'.

Remarque. On prouverait de même que le numérateur « de la fraction ^est plus grand que le numérateur R de-^, , en observant que ~ est compris entre 7 •

PROPOSITION XIII

Lorsq-ue trois nombres x, y, z dont le second est compris entre les deux autres, sont exprimés par des fractions continues, tous les quotients entiers communs aux deux fractions extrêmes appartiennent aussi à la fraction intermédiaire.

Supposons qu’on ait a;<y<3 et

y étant plus grand que x, la partie entière b Ae y est au moins égale à la partie entièi’e a de x; pareillement, y étant moindre que s, b est au piqs égal à c; donc en supposant a = c , on aura b = a = c. Cela étant, les relations X <iy<z donnent

donc, en supposant

œSIPLÉMENT D'ARITiniÉTIQnE.

el a' — <r', on prouvera , comme précédemment, que // = a' = {/, et ainsi de suite, quel que soit le nombre des quotients entiers communs aux deux fractions extrêmes.

CoRocLAiRE. On en déduit le moyen d’exprimer approximativement par une fraction continue un nombre dont on a deux valeurs approchées 3,1^15926 et 3,1415927 l’une par défaut et l’autre par excès, A cet effet, on cherche les quotients entiers 3, 7, 15, 1, 243 et 3, 7, 15, 1, 354 des fractions continues auxquelles conduisent les fractions ■ (ookkxx) '’ ' (iooiobo et en s arrêtant au quotient 1, on a