On dit qu’un radical dont l’indice est n est du
degré. Ainsi 7l/2 est un radical du troisième degré.
8. Deux radicaux sont semblables, lorsqu’étant du même degré, les nombres placés sous ces radicaux sont les mêmes
Tels sont les radicaux 4i/7 et— 2v/7.
Deux radicaux qui ne remplissent pas à la fois ces deux conditions sont dissemblables.
D. Kedaire plusieurs radicaux au même indice, c’est trouver des l'adicaux respectivement égaux aux radicaux proposés, et qui aient le même indice.
LIVBE V.
PROPOSITION XIV
Faire entrer un facteur sous un radical; et réciproquement.
On a b'>c = aV^ c = abV^ c ,
en observant que la racine d’un produit est égale au produit des racines de ses facteurs (ar.liv.4,pr.22); d’où l’on conclut 1° pour faire entrer un facteur sous un radical du n*-’”® degré, on divise le coefficient du radical par ce facteur et on multiplie la quantité placée sous le radical par la n^“® puissance de ce même facteur; 2" pour faire sortir d’un radical du n*^™ degré un facteur élevé à ta puissance,
on divise par ce facteur la quantité placée sous le radical, et on multiplie le coefficient du radical par la racine n^“ de ce même facteur.
Remarque. Au moyen de ces transformations , on peut quelquefois rendre semblables des radicaux dissemblables (déf. 8). Tels sont par exemple les radicaux f/20 et car on a 1/20 = ^ 5x4 = 2t/5ett/45=V/5x9«= 3V/5 .
PROPOSITION XV
Faire la somme de deux radicaux semblables, et prendre la différence de deux radicaux semblables.
1“ On a aVm-\- bv^m + c\/m= [a + b + c]\/m ,
en observant^ que pour multiplier une somme a+b+c par un nombre Vm, il suffit de multiplier chaque partie de la somme par ce nombre; donc la somme de plusieurs radicaux semblables est égale à un radical de même degré, qui a pour eoefficienl la somme des coefficients des radieaux proposés.
2“ On a a\/m — bVm = {a—b)\/m,
COMPLÉMEST D’aRITHMÉTIQÜE.
en observant^ que pour multiplier une différence a— b par un nombre Vm, il suffit de multiplier chacun de ses termes par ce nombre ; donc la différence de deux radicaux semblables est égale à un radical de même degré, qui a pour coefficienl la différence des coefficients des radicaux proposés.
PROPOSITION XVI
Effectuer le produit de plusieurs radicaux de même degré; et diviser run par l'autre deux radicaux de même degré.
1° On a aVbY. cVd=^acy.VbVd=acV''%d,
en observant que pour multiplier un nombre par un produit, il suffit de multiplier ce nombre par le premier facteur, le résultat obtenu par le second facteur, et ainsi de suite; que pour multiplier un produit par un nombre, il suffit de multiplier un facteur du produit par ce nombre, et que la racine d’un produit est égale au produit des racines n^'' de ses facteurs; donc le produit de plusieurs radicaux du même degré est égal à un radical de même degré, qui a pour coefficient le produit des coefficients des radicaux proposés , et dans lequel le nombre 2 >lacé sous le radical est égal au produit des nombres placés sous les radicaux des facteurs.
aVb a Vb a
2“Ona 1/ — .
cVd Vd d
en obseivant que le produit de deux fractions est égal à
une fraction qui a pour numérateur le produit des numé-
rateurs des fractions proposées et, pour dénominateur, le produit de leurs dénominateurs (liv.l,pr. l7); et que, pour extraire la racine »«"•« d’une fraction, il suffit d’extraire la racine de chacun de.ses termes (ar. liv.4,pr.21); donc pour diviser l’un par l’autre deux radicaux du même degré.
uvnE V.
U suffit de diviser le coefficient du radical dividende par relui du radical diviseur, et la quantité placée sous le radical dividende par la quantité placée sous le radical diviseur.
PROPOSITION XVII
Élever un nombre a à une puissance dont le degré mnp est un produit de plusieurs facteurs; et extraire d’un nombre a une racine dont le degré est un produit mnp de plusieurs facteurs.
1“ On a (ar.Uv.4, pr.8,rem.3)
(a")“ = a™» et (a"*)P = a*"i’;
donc, pour élever un nombre a « une puissance dont le dcgrc est un produit mnp, il suffit d'élever cc nombre à la puissance, le résultat obtenu à la n^“* puissance, et ainsi de suite.
mnp
2» Soit Va = b,Vb = c; Vc= d. On aura df— c et, en vertu de ce qui précède, = c" = b, d""»' = 6» = a; donc d est la racine mnp^ de a; et, pour extraire d’un nombre la racine dont le degré est un produit mnp, il suffit éC extraire la racine de ce nombre, la racine n^® du ré-
sultat, et ainsi de suite.
Remarque. L'ordre dans lequel on élève aux puissances ou dans lequel on extrait les racines dont les degrés sont m, n, P est entièrement arbitraire.
Corollaire. Pour extraire la racine »“"*« d’une puissance a"P dont l’exposant est un multiple de n, il suffit de diviser l’exposant de la puissance par le degré de la racine. Car en élevant le résultat a? à la puissance, on reproduit a”f.
Lorsque l’exposant m de la puissance n’est pas un multiple de n, on indique la racine à extraire en affectant a de
l'exposant fractionnaire-^, de sorte que a ’* a la même signification que K a»i. On verra bientôt l'utilité de cette nouvelle nutation.
COMPLÉMENT d'aRITHMÉTIQUE.
PROPOSITION XVIII
Un radical ne change pas de valeur, lorsqu’on multiplie ou qu’on divise par un même nombre l’indice du radical et l’exposant de la quantité placée sous le radical.
Il s’agit de démontrer l’égalité
mp m
mp CT /
Ona(pr. 17) v ^ a"P
et (pr.l7,cor.) \/ = a»;
mp CT
donc = I^a".
PROPOSITION XIX
Elever un radical à la n*’’"® puissance; et extraire la racine n^"‘® (fwn radical.
CT
1' Considérons le radical yüf, dont le coefficient est égal à l'unité. La puissance de I^op étant un produit de n facteurs égaux à ce radical , on a (pr.l6)
