CT CT CT
( V' afY = a"P.
nm CTM CT
On a de même (L^ap)" = (pr. 18);
donc, pour élever un radical à la n^“® puissance, il suffit de multiplier par n l'exposant de la quantilé placée sous le radical ou, lorsque cela est possible, de diviser paru l'indice du radical.
2" On a (pr. 17)
LIVBE V.
et |/ \/ Q«v ~ n»p ~ t^ôF;
donc, ‘pour extraire la racine n*'“e d'un radical, il svjfil de multiplier par n l'indice du radical, ou, lorsque cela est possible, de diviser par n l'exposant de la quantité placée sous le radical.
PROPOSITION XX
Réduire des radicaux au même indice.
Le nombre 2k étant le plus petit commun multiple des indices 8 et 12, si on divise 2k par l’indice 8 on aura un quotient entier 3, et en multipliant par 3 l’indice 8 et l’exposant 3 de o, on obtiendra un radical P' a» égal à »^o* (pr.l8) et dont l’indice sera 21; on a de môme un radical égal à et dont l’indice est 24. , en multipliant l’indice 12 et l’exposant 5 de 6 par le quotient 2 de la division de 2k par 12 ; de sorte que les radicaux «» qt 6*'' satisfont à l’énoncé (déf. 9). En général, pour réduire des radicaux au même indice, on prend pour indice commun le plus petit commun multiple de tous les indices, et l'on multiplie C exposant de la quantité placée sous chaque radical par le nombre de fois que t indice de ce radical est contenu dans t indice commun.
Remarque. Lorsque les indices des radicaux proposés sont premiers entre eux deux à deux, leur plus petit commun multiple est égal à leur produit, et alors la règle précédente se transforme en celles-ci : 1° pour réduire au même indice deux radicaux dont les indices sont premiers entre eux , on multiplie l'indice de chaque radical et l'exposant de la quantité placée sous ce radical par l'indice de t autre radical; 2? pour réduire au même indice plusieurs
CJMPLÉMKNT D’aRITHMÉTIQUE.
radicaux dont les indices sont premiers entre eux deux à deux, on multiplie l'indice de chaque radical et f exposant de la quantité placée sous ce radical par le produit des indices des autres radicaux.
CoiioixAiRK. Au moyen de cette règle, on ramène la multiplication et la division des radicaux d’indices différents aux mômes opérations sur des radicaux de même indice (pr.16). Ainsi on a
et
4 ii 13
Tï
PROPOSITION XXI
Les régies pour les ojrérations sur les nombres affectés d’exposants entiers sont applicables aux opérations sur les nombres affectés (T exposants fractionnaires.
Car, en s’appuyant sur la relation a" = (pr. 17, cor.), dans laquelle on peut supposer le nombre entier m positif ou négatif, on a par les principes précédents
m P n q nq nq nq
a y.a 1 ~ ~ yfëm ^ ÿ a™i+’'P
mq np ^ ^ P = 0 = 0 ” 9 '
m P n q nq nq
a~» : a 1 = ya">: yâp =
nq mq — np m p
\ a'»' — V y a” = ÿâ» = a ^ .
LIMIE V.
LOGAIUTHMES.
PROPOSITION XXII
Lorsque V exposant x d'un nombre b positif cl différent de runité varie d’une manihre continue, ce nombre varie lui-même d'une manière continue.
Lorsque x est un nombre entier positif, b-'' est un produit de X facteurs égaux ^6; lorsque x est un nombre fractionnaire^, = «/ô™; enfin lorsque x est incommensurable, est la limite commune des résultats qu’on obtient en remplaçant x par des valeurs commensurables approchées par défaut ou par excès et qui diffèrent de x aussi peu qu’on voudra. Cela étant, il s’agit de prouver que si l’on fait varier x d’une manière continue (liv.4,déf.3),
variera d’une manière continue; ou, autrement, que si l’on remplace x ^sr x + h, on pourra prendre A assez petit pour que la différence — b^ ou b^ — 6-’^+* soit moindre qu’un nombre donné aussi petit qu’on voudra., Or, en supposant 6 > 1 et A = .^, on a b^+i>—b^= b^ ( b'«- 1) = A-'X (v/A — 1 ). En supposant A < 1 , on aura de môme A^ — frt + * = frr (1 Mais, A étant un nombre plus grand ou plus petit que 1 on peut prendre A assez petit ou n assez grand pour que i/A diffère de^l’unité aussi peu qu’on voudra (Iiv.4,pr.l9et20); doncl/A — 1 eti—Vb sont aussi petits qu’on voudra, et il en est de même des produits de ces différences par b^; donc lorsque x varie d’une manière continue, A-^ varie d’une manière continue.
PROPOSITION XXIII
Les puissances d’un nombre constant b positif et différent de l’unité peuvent reproduire tous les nombres positifs.
140 COMPLÉMENT D’aBITHMÉTIQUE,
1° Supposons d’abord 6>t, et considérons les puissances successives 6° ou 1, b', b^, b^ etc. ; qui croissent au delà de toute limite (liv.4, pr. 16). En faisant varier l’exposant x de b^ d’une manière continue de 0 à 1, de 1 à 2, de 2 à 3, etc.; b^ croîtra d’une manière continue de 1 à 6, de 6 à de à* à b^, etc. (pr. 22) ; donc b^ peut représenter tous les nombres plus grands que l’unité. Do plus, si l’on considère les puissances ¥ ou 1, 6-' ou ÿ, 6-^ ou (-^)“, etc.; qui ont zéro pour limite (liv. 4, pr. 17) et qu’on fasse varier x d’une manière continue de zéro à —1, de —1 à —2, de — 2à .r-3, etc.; ¥ décroîtra d’une manière continue de 1 à 6-*, de 6-’ à 6-*, de b~^ à b~^, etc. (pr.22) ; donc b^ peut représenter tous les nombres positifs moindres que l’unité.
2° En supposant é<l, les puissances 6', etc., auront pour limite zéro , tandis que les puissances 6®, 6-*, 6-=*, etc.; ou 1, , (y)^, etc. , croîtront au delà de toute
limite; donc en faisant varier x d’une manière continue de zéro à 1, de 1 à 2, etc.; puis de 0 à —1, de —1 à —2, etc. on obtiendra comme précédemment pour b^ tous les nombres positifs plus petits et plus grands que l’unité.
DÉFINITION
10. Le logarithme d’un nombre est l’exposant de la puissance à laquelle il faut élever un nombre constant, positif et différent de l’unité, pour obtenir le nombre proposé. Ce nombre constant est la base du systèfne de logarithmes. Ainsi, dans le système dont la base est 2, les nombres 5 et — 3 sont les logarithmes des nombres 32 et ^ ; car on a 2^=32 et2-5 = i.
Reuarqck. Quel que soitô, on a b'— b et 6®=1 ; lorsqu’on a 6>1, à^est plusgrapd ou plus petit que l’unité suivant que X est positif ou négatif et l’on a = = 0
(liv. 4, pr. 16); lorsqu’on a 6<1, b^ est plus grand ou plus petit que l’unité suivant que x est négatif ou positif et l’on a à+® = 0 (liv. 4, pr. 17) ; enOn b étant positif, 6^ est essen-
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