LIVRE V
liellcmcnt positif; donc dans tout srjstème, 1° le logarithme de la base est [unité et le logarithme de [unité est zéro; 2“ lorsque la base est plus grande que l’unité, les logarithmes des nombres plus grands que l'unité sont positifs , ceux des nombres moindres que [unité sont négatifs, et le logarithme de zéro est [infini négatif; 3“ lorsque la base est moindre que l’unité, les logarithmes des nombres plus grands que l’unité sont négatifs, ceux des nombres moindres que [unité sont positifs et le logarithme de zéro est [infini positif; 4° les nombres négatifs n’ont point de logarithmes.
PROPOSITION XXIV
Trouver V le logarithme d’un produit au moyen des logarithmes de ses facteurs; 2° le logarithme d’un quotient au moyen des logarithmes du dividende et du diviseur ; 3° le logarithme de la puissance ou de la racine m*''“ d’un nombre au moxjen du logarithme de ce nombre.
Soient y, y', y" plusieurs nombres dont les logarithmes sont X, xf x" dans le système dont la base est b : on aura (déf. tO)
y=b^, tf=b^', y"=b^"
et, par suite, (pr.21)
yy'yfi = b^b^' Ij^" +•*”
ou logyyY'=logy + log/ + logy";
^ = =frr-T' ou log Y=\o%y-\ogy';
ym = ^gTjm—/,mx qq log ÿ" = TO lOg y ;
logy .
m m JL m
Vy = Vb’^ = i ou log \/y =
TO
donc 1° le logarilhmc d’un produit est égal à la somme des logarithmes de ses facteurs; 2“ le logarithme d’un quotient
^42 COIIPI.ÉME.NT tl’ARlTHMÉTigUE.
est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur; 3° te logarithme de ta puissance d'un nombre est égal à m fois le logarithme de ce nombre; h'" le logarithme de la racine d’un nombre est égal à la partie du logarithme de ce nombre.
Corollaire 1 . Le logarithme d’une fraction est égal au logarithme du numérateur moins le logarithme du dénominateur. Car toute fraction peut être considérée comme le quotient de la division de son numérateur par son dénominateur.
Corollaire 2. Le logarithme d’ un rapport géométrique est égal au rapport arithmétique qui a pour antécédent le logarithme de l’antécédent du premier rapport et, pour conséquent, le logarithme de son conséquent. Car le rapport géométrique de deux nombres est égal au quotient de la division du premier par le second, et le rapport arithmétique de deux nombres est égal au premier moins le second.
Corollaire 3. Dans tout système, le logarithme d’une puissance de la base est égal au degré de cette puissance. Car on a log b”'— m log 6 = wi (déf. 1 0, rem. 1°. )
PROPOSITION XXV
Trouver une valeur approchée du logarithme d'un nombre a dans le système dont la base est b.
En désignant par x le logarithme de a dans le système dont la base est b, on aura 6^=0. Cela étant, nous distinguerons les quatre cas: 1° è>l et a>l ; 2“ è>l eta<t ; 3° 6<1 et a>l; 4“ 6<1 et o<l.
1° è>l et a>l. Remplaçant x successivement par chacun des nombres 0, 1, 2, 3, etc.; on trouvera deux puissances consécutives b", entre lesquelles sera compris le nombre a (liv. 4, pr.l6), de sorte qu’on aura 6<‘<a<6“+* et, par suite, a<a:<a+l; donc en posant a:= a+-^, y sera plus grand que l’unité , et l’égalité IP = a deviendra b'^*-—a. On en déduit
MVllE V.
' Lu tj
6*Xôÿ=a, b y — —=-c , c =6.
Le nombre a étant compris entre 6 * et 6 *+’, c est compris entre 1 et 6 donc en remplaçant y successivement par chacun des nombres 1 , 2 , 3, etc., on trouvera deux puissances consécutives c?, 6 f>+* entre lesquelles sera compris le nombre 6 , de sorte qu’on aura c? < 6 <cP+*, et, par suite, ?<y<P+l ; donc en posant y = p + -r. s sera plus grand que l’unité. On trouvera de môme s = 7 et ainsi de suite ; donc
