hetc

L’inconnue x étant ainsi exprimée par une fraction continue, on obtiendra une valeur de ce logarithme aussi approctiée qu’on voudra (pr. lUj. De plus, la valeur de x étant comprise entre deux réduites consécutives quelconques (pr. 3) , si l’on pousse le calcul assez loin pour que deux réduites consécutives , converties en décimales , aient la même partie entière et le môme chiffre des dixièmes , on aura la valeur de X approchée à moins d’un dixième ; on pourra de même en obtenir la valeur approchée à moins d’un centième, à moins d’un millième, et, en générai, à moins d’une unité décimale aussi petite qu’on voudra.

2° 6>1 eta<l. L’égalité a exige que a:; soit un nombre négatif ; donc , en désignant par y la valeur absolue de x , on aura 6 -» = a et, par suite ,

1 , 1 - - — a ou év=— .

fc» a

Or, a étant moindre que l’unité,^ est plus grand que l’unité; donc on pourra trouver une valeur de y aussi approchée qu’on voudra (t“).

3" 6 < 1 et a> 1 . L’égalité = a exige que x soit égal à

<44 œMPLÊMENT d’aiuthsiétiqub.

un nombre négatif — y; de sorte qu’on a b~* = a et, par suite ,

Or, b étant moindre que 1, -^est plus > grand que l’unitc; donc on pourra trouver une valeur de y aussi approchée qu’on voudra (1°).

4° 6<1 et a < 1 . L’égalité b^ = a donne

Or y et sont des nombres plus grands que l’unité , donc on pourra trouver une voleur de x aussi approchée qu’on voudra (1").

PaOPOSITION XXVI.

Lorsque des nombres sont en proportion géométrique, leurs logarithmes soîit en proportion arithmétique ; et réciproquement.

1“ Supposons qu’on ait la proportion a:b::c\d.Le rapport a: 6 étant égal au rapport c:d, le logarithme (log a . logô) du premier rapport (pr. 24, cor. 2) est égal au logarithme ( log c . log d ) du second rapport ; donc on a la proportion log a .logé : loge : logrf.

2" Supposons qu’on ait la proportion log a. log loge .logd. Le rapport foga.log b étant égal au rapport loge . log d , le nombre a : b correspondant au premier rapport (pr. 24, cor. 2) est égal au nombre c : d correspondant au second rapport ; donc on a la proportion a: b y.c-.d.

Corollaire. Dans toute proportion géométrique 1° le logarithme (T un extrême est égal à la somme des logarithmes des moyens moins le logarithme de Vautre extrême; 2° le logarithme d'un moyen est égal à la somme des logarithmes des extrêmes moins le logarithme de l'autre moyen (ar. liv.5, pr. 9).

UVBE V.

PROPOSITION XXVII

Lorsque plusieurs nombres sont en progression géométrique, leurs logarithmes sont en progression arithmétique; et réciproquement.

1° Supposons qu’on ait la progression ^ a:b:c:d:e. Les rapports géométriques 6 : a, c:b, d:c, e:d étant égaux, leurs logarithmes logô.loga, logc.Iogt», logd. loge, loge' .loge! (pr.S^., cor. 2] sont aussi égaux entre eux; donc on a la progression log a . log b . loge.logd. loge.

2° Supposons qu’on ait la progression-!- log a. log 6. loge . log. d . loge. Les rapports arithmétiques log b . log«, loge . logd», log d. loge, loge . logd étant égaux, les nombres b: a, e:b, d:e, e:d dont ils sont les logarithmes ( pr. 24 , cor. 2) sont aussi égaux entre eux ; donc on a la progression ~a:b:c:d:e.

PROPOSITION XXVIII

Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un nombre a , entier ou fractionnaire , ait un logarithme commensurable dans un système dont la base b est un nombre entier.

Désignons parole logarithme de o, m étant un nombre entier positif, nul^ou négatif, et n un nombre entier positif. On aura a = Ôb et, par suite, o" = 6'". Cela étant, distinguons deux cas suivant que a est entier ou fractionnaire.

1° a étant un nombre entier l'égalité a”=b'» exige que m soit un nombre positif, et que tout nombre premier, diviseur de 0 , soit aussi diviseur de b et réciproquement (ar. liv.2,pr. 18, cor.) ; donc, en posant b=c''d^, c et d étant des nombres premiers inégaux et plus grands que l’unité , on aura a = c^'d^' et, par suite, c<‘^' = c“r d™*; donc nrf

= »n-ï,nî'=»iS et, par suite, ^ donc, pour

qu'un nombre entier a ait un logarithme commensurable .

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^46 COMPLÉMENT d'aRITHMÉTIQUE.

dans un système dont la base b est un nombre entier, il faut que a e/ b soient composés des mêmes facteurs premiers , et que les exposants de ces facteurs soient proportionnels.

Ces conditious nécessaires sont sufOsantes. Car, en supposant b = cTd^, a — ct'd^' et y 17 S': 5, on a = cn'di^, bT=crt' d^t' et ^S'=Sf (ar. liv. 5, pr. 8) ; donc ai = 6i' , a=b~ et , par suite , log a = — .

2° Lorsque a est fractionnaire, la relation a" = 6™ exip que m soit un nombre négatif : alors on a a» = 6-r =— , p étant un nombre positif ; donc a est égal à une fraction de la forme et on a ou »* = ; d’où l’on conclut ,

comme précédemment, que a et 6 sont composés des mêmes facteurs premiers, et que les exposants de ces facteurs sont proportionnels ; on prouverait de même que ces conditions nécessaires sont suffisantes; donc, powr qu’un nombre fractionnaire a ait un logarithme commensurable dans un système dont la base b est un nombre entier, il faut et il suffit que a soit égal à C unité divisée par un nombre entier a composé des mêmes facteurs premiers que la base b, et que les exposants de ces facteurs soient proportionnels.

Corollaire. Lorsque 6=10, on a c=2, d—b et 7=^=1 ; doncy = et le nombre entier a =2^' x 5^’ = (2x5) ’’=! 0’’ . Lorsque a est fractionnaire, on a 0= — ;; donc, dans le

système de logarithmes dont la base est 10, 1° les seuls nombres entiers dont les logarithmes soient commensurables sont les puissances 10 , 10 , 10 , 10 ... de /a base du système; 2* les seuls nombres fractionnaires dont les logarithmes soient commensurables sont les puissances (0,1) , (0,1) , (0,1) .. .. de Uinverse 0,1 de la base du système.

PROPOSITION XXIX

Les logarithmes l et \' diun nombre a, dans deux systèmes dont les bases sont b et b', sont en raison inverse des logarithmes de ces bases, pris dans un système quelconque.