LIVRE V

On a, par hypothèse, a=b‘ Prenant les logarithmes de b^ et b'‘' dans un même système, on a l \og b=l' logé' et, par suite, l : l':: logé': logé.

CoRULLAiRK. La pi'oportion 1:1' :: logé' : logé donne l'=l y. ou on supposant que les loga-

rithmes de é et é' soient pris dans le système dont la base est é; donc , pour passer du logarithme d'un nombre dans le système dont la base est b au logarithme du même nombre dans le système dont la hase esth', il suffit de multiplier le premier logarithme par l’inverse du logarithme de la nouvelle base pris dans le premier système. Ainsi , pour passer du logarithme 3 du nombre 1000 dans le système dont la base est 10, au logarithme de 1000 dans le système dont la base est 10 , on multiple 3 par l'inverse 2 du logarithme ï de 10 dans le premier système , de sorte qu'on a log 1000=6 dans le système dont la base est V 10.

Remarque 1. L'inverse du logarithme de la nouvelle base é', pris dans le premier système , est appelé le module de é' par rapport à é.

Remarque 2. Les logarithmes dont la base est 10 sont appelés logarithmes vulgaires ou logarithmes de Briggs, parce que Briggs est le premier qui ait publié des tables de logarithmes pour cette base.

DÉFINITION

11. La caractéristique d’un logarithme est la partie entière , positive , nulle ou négative, de ce logarithme. Ainsi 3 est la caractéristique du logarithme positif 3,ii569864'; — 6 est la caractéristique du logarithme entièrement négatif -6,86W782 qui est égal à - 6 - 0, 8619782; - 5 est la caractéristique seule négative du logarithme 5,2689317 qui est égal à -54- 0,2689317.

Remarque 1 , On a — 6,8649782 — — 7 -h 1 — 0,8649782 = -7-1- (1 — 0,8649782) =7,1350218. En général, pour convertir un logarithme entièrement négatif en un logarithme dont la caractéristique soit seule négative, on ajoute

148 COMPtÉMENT d’arithmétique.

—1 à la caractéristique et on prend , pour la partie décimale du logarithme demandé , l’excès de l'unité sur la partie décimale du logarithme proposé.

Remarque 2. On a 7,1350218 = — 6 — 1 + 0,1350218 =— 6-(l -0,1350218) = -6,8649782. En général, pour convertir un logarithme dont la caractéristique est seule négative en un logarithme entièrement négatif, on ajoute + 1 à la caractéristique et on prend, pour la partie décimale du logarithme demandé, I excès de V unité sur la partie décimale du logarithme proposé.

Remarque 3. L’excès de l’unité sur un nombre décimal peut s’obtenir en retranchant, à partir de la gauche, chaque chiffre décimal de 9 unités de son ordre, à l’exception du dernier chiffre décimal significatif qu’on retranche de 10 unités.

PROPOSITION XXX

Dans le système dont la base csH 0 , 1 ® la caractéristique du logarithme d’un nombre plus grand que Funité contient autant d’unités moins une qu’il y a de chiffres dans la partie entière de ce nombre; 2“ la caractéristique seule négative du logarithme et un nombre décimal moindre que l'unité est égal à — 1 multiplié par le nombre qui marque le rang du premier chiffre significatif.

En considérant les deux progressions

ff ... 0,001 : 0,01 : 0,1 : 1 : 10 : 100 : 1000 ...

relatives au système dont la base est 10 , on reconnaît immédiatement que le principe énoncé se vérifie pour chacun des termes de la progression géométrique ; donc il suffit de démontrer qu’il est applicable à tous les nombres intermédiaires.