LIVRE V

1“ Les logarithmes des nombres 10«-' et 10" étant n— 1 et n (pr. 24, cor. 3), tout nombre compris entre 10»-' et 10", ou dont la partie entière se compose de n chiffres, a son logarithme compris entre n — 1 et « , et par conséquent n—i pour caractéristique de son logarithme.

Ainsi un nombre , dont la partie entière est composée de 9 chiffres , a 8 unités à la caractéristique de son logarithme.

2° Les logarithmes des nombres 10~'>+< et 10-» étant — n + 1 et — n (pr. 24, cor. 3), tout nombre décimal compris entre 10-»+' et 10-», ou dont le premier chiffre significatif exprime des unités du n'"“ ordre, a son logarithme compris entre —n + 1 et — n, et par conséquent — n pour caractéristique seule négative de son logarithme.

Ainsi un nombre décimal , dont le premier chiffre significatif exprime des millionièmes, a 6 pour caractéristique seule négative de son logarithme.

PROPOSITION XXXI

Les logarithmes de deux nombres A et B, dont le rapport est égal à une puissance t/e 10, ont la'même partie décimale.

Soit A = BxlO», n étant un nombre entier positif. On a ( pr. 24 ) log A = log B + log 10» = log B + n ; ce qui montre qu’on obtient log A en ajoutant n unités à la caractéristique de log B ; donc log A et log B ont la même partie décimale, en supposant que, si log B est négatif, sa caractéristique soit seule négative (déf. 11, rem. 1).

Ainsi les logarithmes des nombres 18547, 18,547, 0,018547, 1854700 ont la même partie (jécimale , et ils ne diffèrent entre eux que par leurs caractéristiques , qui sont respectivement égales aux nombres 4 , 1 , 2, 6 (pr. 30).

UÉcipuoQDEMEWT , lorsquc deux logarithmes ne diffèrent entre eux que par la caractéristique , le rapport des nombres correspondants à ces logarithmes est égal à une puissance de

^■10 COMPLÉMENT D’ARmiMÉTIQDE.

10. Car, en supposant log A> log B, on a log A = log B + , n étant un nombre entier positif ; or iog B + n= log B + log 10" = log (B X 10") ; donc log A = log ( B x 10») et , par suite , A=Bxl0«.

PROPOSITION XXXII

Trouver, dans le système dont la hase est 1 0, le logarithme d’un nombre à moins d’une fraction

1” Supposons d’abord le nombre donné A> 1 ou log A>0. On a log A» = n log A et , par suite , log A= -^log A"; donc, en désignant par c la caractéristique de log A» (pr. 17), on aura log A> et log A < ; donc ^ est le logarithme de-

mandé. En général , pour trouver, dans le système dont la base est 10, le logarithme d'un nombre plus grand que t unité à moins d'une fraction^, on élève ce nombre à la nèm* puissance, on cherche la caractéristique du logarithme de cette puissance (pr. 30), pats on divise cette caractéristique par le nombre n.

Ainsi , pour trouver log 2 à moins de -j^, on élève 2 à la IQème puissance, ce qui donne 1024; on cherche la caractéristique 3 du logarithme de 1024, et on divise 3 par 10, ce qui donne 0,3 pour le logarithme demandé.

2" En supposant le nombre donné a<l ou loga<0, proposons-nous d’obtenir la valeur absolue de log a , à moins de J . On a — log a = 0 — log a = log 1 — log a = log-^ ; donc log J est la valeur absolue de log a, ce qui ramène le problème à la recherche du logarithme d’un nombre plus grand que l’unité à moins de-^(l°).

Ainsi , pour obtenir la valeur absolue de log | à moins de 4 * 9 , on cherche la valeur de log 2 à moins de 4 * 5 , ce qui donne 0,3 (1°) pour le nombre demandé.

Remarque. On pourrait aussi obtenir le même résultat à l’aide des fractions continues (pr. 25); mais cette méthode et celle qu’on vient d’indiquer ont .seulement pour objet de