LIVRE V

faire concevoir comment, étant donné un nombre quelconque, on peut obtenir une valeur de son logarithme aussi approchée qu’on voudra. Lorsqu’il s’agit en réalité d'effectuer le calcul pour une valeur de A ou de n un peu considérable, on a recours à des procédés moins élémentaires, mais plus expéditifs.

PROPOSITION XXXIII

Former une table de logarithmes dans le système dont la base est i 0.

Le logarithme d’une fraction étant égal au logarithme du numérateur moins le logarithme du dénominateur (pr. 24, cor. 1), on voit que les logarithmes des nombres entiers feront connaître ceux des nombres fractionnaires. Gela étant , proposons-nous de former une table qui contienne les logarithmes de tous les nombres entiers depuis l’unité jusqu’à une limite donnée, 100000 par exemple. Tout nombre entier, qui n’est pas une puissance de 10 , ayant un logarithme incommensurable (pr.28,cor.), nous prendrons seulement la valeur la plus approchée de ces logarithmes en ne conservant que 7 chiffres décimaux (ar. liv. 3,prob.2) , de sorte que l’erreur commise sur chaque logarithme soit moindre qu’un demi-dix millionième. Ainsi , par exemple , pour avoir une valeur approchée de log2 en décimales, on cherche la valeur 0,30102999 de log 2 à moins d’un cent millionième (pr.32,rcm.), puis on supprime le huitième chiffre décimal en augmentant le septième d’une unité de son ordre, ce qui donne log 2 = 0,3010300. Cela étant, on écrit dans une première colonne intitulée N les nombres entiers 1 , 2, 3, 4, 5... 100000, et dans une deuxième colonne intitulée L , à la droite de chacun des nombres de la première colonne , les sept premières décimales de son logarithme ; on se dispense d’écrire les caractéristiques, parce qu’elles se déduisent immédiatement des nombres correspondants (pr..30) ; enfin, dans une troisième colonne inti-

COMPLÉMENT P’aBITHMÉTIQUE.

lulée D , on écrit les différences des logarithmes de deux nombres consécutifs à partir de 10000 ; ces différences servent à calculer les logarithmes des nombres entiers ou décimaux qui, abstraction faite de la virgule, excèdent la limite lOOOOO de la table.

PROPOSITION XXXIV

Trouver une valeur approchée du logarithme d’un nombre entier ou décimal, qui, abstraction faite de la virgule, n excède pas la limite des Tables.

Soit proposé de trouver le logarithme de 3^5,67. partie entière de ce nombre étant composée de trois chiffres , la caractéristique de son logarithme est égale à 2 (pr. 30) ; de plus, le logarithme de 3^5,67 a la même partie décimale que celui du nombre 34567 qui en résulte en faisant abstraction de la virgule (pr. 31) ; donc , si l’on cherche 34567 dans la colonne intitulée N , le nombre 5386617, placé à sa droite , formera la partie décimale du logarithme demandé, de sorte qu’on aura log 345,67 =2,5386617. On trouverait de même log 34567 = 4,5386617 et log0,0034567 = 3,5386617 (pr.30).

En général , pour trouver une valeur approchée du logarithme d’un nombre entier ou décimal, qui, abstraction faite de la virgule, n'excède pas la limite des tables, on écrit la caractéristique du logarithme demandé, puis , faisant abstraction de la virgule dans le nombre proposé, on cherche le nombre qui en résulte dans la colonne intitulée N (pr. 33), et on trouve à sa droite , dans la colonne intitulée L, la partie décimale du logarithme demandé.

PROPOSITION XXXV

Trouver une valeur approchée du logarithme d'un nombre entier ou décimal, qui, abstraction faite de la virgule, excède la limite des Tables.