LIVRE V

Soit proposé de trouver le logarithme de 345,6785. La partie entière de ce nombre étant composée de 3 chiffres , la caractéristique de son logarithme est égale à 2 (pr. 30) ; de plus , le logarithme de 345,6785 a la même partie décimale que celui du nombre 34567,85 qui en résulte en plaçant la virgule de manière que la partie entière approche le plus possible de la limite des tables sans la surpasser (pr. 31) . Pour trouver une valeur approchée de cette partie décimale , cherchons le logarithme tabulaire 5386617 dix millionièmes de 34567 (pr. 34), et l’excès 126 dix millionièmes du logarithme de 34568 sur celui de 34567. T.^s relations

34567<34567,85 <34568 donnent log 34567 <log 34567,85 <log 34568 ;

cela étant, pour déterminer le nombre x de dix millionièmes qu’il faut ajouter au logarithme de 34567 afin d’obtenir celui de 34567,85, on écrira (34668 - 34567) : (34567,85- 34567);:(log34568-log 34567)

: (log 34567 ,85- log 34567) ou 1 : 0,85 :: 126 : x ,

proportion inexacte , mais qui conduit en général à une valeur de x d’autant plus approchée que les nombres entiers 34567 et 34568 entre lesquels est compris 34567,85 diffèrent moins de la limite des tables. On en déduit x = 126x0,85 =107,1 = 107 dix millionièmes, en négligeant le chiffre 1 < 5. Cette valeur de x ajoutée à la partie décimale 5386617 dix millionièmes du logarithme de 34567 donne la partie décimale 0,5386724 du logarithme de 34567,85 et, par conséquent, celle du logarithme de 345,6785; donc on a log 345,6785 = 2,5386724. On trouverait de même log 3456785 = 6, .5386724 et log 0,03456785 = 2,5386724 (pr.31).

En général , pour trouver une valeur approchée du logarithme d'un nombre entier ou décimal, qui, abstraction faite de la virgule , excède la limite des tables, on écrit la carao-

^0^ COMPLÉMENT d’ ARITHMÉTIQUE.

térislique du logarithme demandé, et, pour avoir sa partie décimale, on substitue au nombre proposé celui qu'on obtient en plaçant la virgule de manière que la partie entière approche le plus possible de la limite des tables sans la surpasser; on cherche le logarithme tabulaire correspondant à celte partie entière , et on l’augmente du quatrième terme de la proportion ; l'unité est à la partie décimale du nombre qu’on a substitué au nombre proposé comme la différence des tables est à TL.

Remarque. Dans les tables de Gallet , on trouve écrites , 126 au - dessous de chaque différence des tables , les

1 13 valeurs les plus approchées des produits de cette

2 25 différence par les 9 premiers multiples de 0,1 en

3 38 ne conservant que 7 chiffres décimaux (ar. liv. 3

4 50 prob. 2) , ce qui permet d’abréger le calcul de la

5 63 valeur de x. Ainsi , pour obtenir le produit de 126

6 70 dix millionièmes par 0,85, on observe que 126

7 88 x 0,85 = 126 x 0,8+ 126 X 0,5x ^ ; on cherche,

8 101 au-dessous de 126 et à la droite du chiffre 8, le

9 113 produit 101 dix millionièmes de 126 dix millionièmes par 0,8 ; puis, à la droite du chiffre 5, le produit 63 dix millionièmes de 126 dix millionièmes par 0,5 ; enfin , divisant 63 dix millionièmes par 10, on obtient le quotient 6 dix millionièmes (ar.liv.3, prob. 2) qui, ajouté à 101 dix millionièmes , donne , comme précédemment, x = 107 dix millionièmes.

PROPOSITION XXXVI

Trouver une valeur approchée du nombre correspondant à un logarithme positif ou dont la caractéristique est seule négative.

Soit proposé de trouver une valeur approchée du nombre dont 2,5386724 est le logarithme. La caractéristique 2 montre que la partie entière du nombre demandé se compose de 3 chiffres (pr.30). Cela étant, supposons que la