LIVRE V

Remarque 2. Au lieu de soustraire un logarithme positif, on peut ajouter son complément en diminuant la somme ainsi obtenuede 10 unités. Car o— logi=a+(10— logé) — 10 =a+C' logé— 10.

PROPOSITION XXXVII

Trouver le logarithme d'une fraction ■— moindre que

otyj

l’unité.

i” On a logî^Y = — log567 (pr,24, cor.l) ; orlog 2

=0,3010300et log567=2, 7535831: donclogç|7=0, 3010300

- 2,7535831 = - (2,7535831 - 0,3010300) =* - 2,4525531 =3,5WU69 (déf. 11, rem. 1),

2° On a log sfy = log2— log567 = log2 + C'Iog567 — 10 (déf. 13, rem. 2); or log2 = 0,3010300 et C‘ log 567 = 7,2464169 ; donc log glj = 0,3010300 + 7,2464169 - 10 = 7,5474469-10=3,5474469 = -2,4525531 (déf. 11, rem. 2).

Remarque. En cherchant le nombre correspondant à 3,5474469 , on trouve (pr. 36) 0,003527336 qui exprime la valeur de ^ à moins d’un billionième.

PROPOSITION XXXVIII

Trouver une valeur approchée de la racine septième du cube de

En posant x = V^ ’

on a (pr . 24 ) log a; = } log (V/»)’ = f log ih ;

or log^ = logl8 + C'log 569- 10=1,2^2725 + 7, 2448877

- 10 = 2, 5001602 ; donc log a; = t (2, 5001602 x 3 ) = 7 (5,5004806). Avant d’effectuer la division de 5,5004806 par 7, augmentons la caractéristique 5 du plus petit multiple de 7 qui la rende positive , c’est-à-dire de 7 unités ; nous aurons log x = \ (2,5004806 — 7) = 0,3572115 — 1 = 1,3572115 et, par suite (pr.36), x =0,2276206.

COMPI.ÉUENT d’arithmétique.

En général , pour obtenir le logarithme de la racine m«"'® d'un nombre moindre que l’unité , on ajoute au logarithme de ce nombre le plus petit multiple de m qui le rende positif; on divise la somme ainsi obtenue par m , puis on retranche du quotient autant d’unités qu'on a ajouté de fois le nombre m.

PROPOSITION XXXIX

La valeur d’un capital a placé pendant n années à intérêt composé est égale à A à la fin de la n^ année ; T désigne l’intérêt d'un franc placé pendant une année; et on propose, étant données trois quelconques des quantités a, r, n, A, de calculer la quatrième par logarithmes.

La valeur d’un franc au bout de la année étant (1 + r)",

on a la relation

A=(l +r)»xa (ar. Iiv.5, prob. 12).

1° a, r, n étant données, on détermine A par l’égalité log A=n log (1 +r) +log a ;

2° r, n, A étant données , on détermine a par l’égalité log a=log A— n log (1 + r) ;

3* a, n, A étant données , on a

log (1 +r) =-^( log A -log a),

relation qui détermine 1 + r et, par suite , r. Connaissant r, on en déduit le taux rxlOO.

k’ a, r, A étant données , on a

log A - log a log(l+r)

Lorsque la valeur de n n’est pas un nombre entier , on prend la partie entière n' de cette valeur pour le nombre