RACINES
PROPOSITION VI
Étant donnée une limite 8 de l erreur commise stir un nombre a, trouver une limite de l'erreur commise sur la racine de ce nombre; et réciproquement.
1"B aiMPLÉME.NT d’aRITHMÉTIQIE.
Il y a deux ras à considérer, selon qu’on remplace a par une valeur approchée par excès ou par défaut.
1 ” Soit a la valeur de a approchée par excès à moins de î.
En remplaçant a par o dans v/a, l’erreur e commise sur
mm m
cette racine est Va — v'a ~ x — y, ex\ posant Va=^x et
Va=y. Or on a
- (x”'—* + r"*— * y + X”'- ^ y* + etc. + y"”*) (-r — y)
e — X y— ^ ^ +ëtc. + y'»-‘
ou
+a;'"-Sy + a;'"— ®y“ + etc. +y”*— • ’
en observant que x^-*y.x = x”', que y*»-' x(— y) = — y" et que le produit d'un terme quelconque du multiplicande, autre quear™-*, par x, et celui du terme précédent par— y se détruisent. Or le dividende — y"» = a— a<S; de plus,
la relation a > a donne l/ a > l/a ou a: > y; donc en remplaçant X par y au diviseur, qui devient alors y"-^ +y’"~* 4 -y“-< etc. ou >wy™-<, on diminuera ce diviseur et on aura
niy»—*
ou
0) e < — ÏT3II m V' a’"~*
donc l’erreur commise sur ta racine m^“« d’un nombre a, auquel on substitue une valeur approchée par excès à moins de S, est moindre que S divisé par m fois la racine m^“« de la (m — 1)*“® puissance de a.
Réciproquement, si l’on veut déterminer ^ de manière que l’erreur e soit moindre que e , on posera
— 5; ^ — = e ou S = e -K m a”-* ;
donc pour que ü erreur commise sur la racine m^"'* d'un nombre a, auquel on substitue une valeur approchée par excès, soit moindre qu’un nombre donné e, il suffit de prendre a avec une erreur tnoindre que e multiplié par m fois la racine m*“® de la (m— 1)*®* puissance de a.
LIVHE VI.
2" Soit * la valeur (le a approi'hée par défaut à moin.s de î.
m mm
En remplaçant u par * dans Va, on aura e=Va—V<>-; d’où l’on conclura, comme précédemment (1°),
donc l’errewr commise sur la racine m*“* «fitn nombre à, auquel on substitue une valeur » approchée par défaut à moins de S, est moindre que S divisé par in fois la racine id (fj| ijèmc puissance de *.
Réciproquement, si l’on veut déterminer * de manière qu’on ait e<e, on posera
— = e ou 5 = 2x»n VoL’s—t,
Mais cette valeur de % étant inconnue, on déterminera î en remplaçant * par une valeur quelconque de a approchée
par défaut: ensuite on remplacera a dans Va par une valeur qui non-seulement soit approchée par défaut à moins de S, mais qui, de plus, ne soit pas moindre que la valeur donnée précédemment à ».
Corollaire. Les relations (i) et [a) montrent que si a est un nombre décimal plus grand que l’unité et que ^ on aura e< ; donc, pour obtenir la racine m^“« d'un nombre décimal plus grand que l'unilé à moins d’une unité décimale du n®"*® ordre, il suffit d’opérer sur une valeur du nombre proposé approchée à moins de la même unité décimale.
PROPOSITION VII
Pour extraire la racine d'un nombre N à moins d’une unité, il suffit d’extraire la racine m^“‘ a de la partie entière A de N à moins d'une unité.
En effet , a étant la racine m^®>® de A à moins d’une
COMPLÉMENT n’ARlTHMÉTIQLE.
unité, la puissance de a est contenue dans A et, à plus forte raison, dans N, tandis que la puissance de a + 1 excède A au moins d’une unité et, par suite, excède N; donc a est le plus grand nombre entier dont la puissance soit contenue dans N ou, autrement, a est la racine de N à moins d’une unité [déf. 3, rem.].
PROPOSITION VIII
Extraire la racine m*”“® d'un nombre N à moins d'un nombre S.
En désignant par ^ x a; la racine demandée (déf. 3, rem.), la puissance de^xx sera contenue dans N, tandis que
la puissance de ^x(x + l) excédera N ; donc on aura
J» X X» = ou< N < 5“ X (a; + 1)”
et, par suite , ar™ =ou <-^ <(x+ 1)”» ;
donc le nombre entier x est la racine tn^ du quotient ^ à moins d’une unité (déf. 3, rem.). On en déduit celte règle générale ; pour extraire la racine m®“‘® d’wi nombre N à moins (T un autre nombre S, on divise le premier par la m^“® puissance du second, on extrait la racine m**"® du quotient à moins d’une unité, et l'on multiplie le second nombre par cette racine.
PROPOSITION IX
Pour extraire la racine mn®"“ d’un nombre N à moins de à', il suffit d extraire succcessivement, à moins de 8, la racine m®“® âa rfe N et la racine de 5a.
En effet, Sb étant la racine de Sa à moins de on a (Sè)*= ou <îa et, par suite, (S6)’**= ou< (Sa)“.Mais, étant la racine w'*'»® de N à moins de S, on a (S«)’“ = ou <N ; donc, à plus forte raison, {Sb)”>’‘— ou <N. De plus, Sb étant
LIVKE VI.
le plus grand multiple de ^ dont la n*'^ puissance soit contenue dans ^a, on a
et, par suite, [^(6 + 1 )]’"■> (^«)*; d’où l’on déduit [S(ù-l-l)]»“ = ou>[*(a+l)]“; mais étant la racine de N à moins de on a [ÿ(a+l)]">N;
donc, ù plus forte raison, [s(ù + !)]“« >N.
Il en résulte que est le jHus grand multiple de i dont la puissance soit contenue dans N, ou, autrement, que est la racine de N à moins de ^ (déf. 3, rem.).
PROPOSITION X
Pour extraire la racine (T un nombre entier a
avec une erreur moindre que l'unité, il suffit de connaître plus de la m*“® partie du nombre de ses chiffres O partir de la gauche.
En supposant que n soit le nombre des chiffres de «, nous démontrerons d’abord que si l’on prend sur 1a gauche de a un nombre de chiffres plus grand que ou au moins égal à en remplaçant tous les chiffres suivants par des zéros, l’erreur e commise sur i/o sera moindre qu’une unité. En effet, le nombre » qu’on substitue à a dans Va contenant n chiffres est au moins égal à 10*-' ; de plus, le nombre des chiffres pris sur la gauche de n étant au moins égal à la partie négligée contient au plus n — ou
chiffres; donc cette partie est moindre que
