LIVRE VI

racine carrée à moins d’une unité , a la première partie de cette racine et b le nombre commensurabl»; ou incommensurable qu’il faut ajouter à a pour obtenir V^N. On a v/N=o+6 et, par suite,

N=o^+2ad»+6* et (1) ^ ^ =6+

Mais , par hypothèse , la partie entière de b contient un nombre déchiffrés moindre que et, par conséquent, celle de b'^ en contient un nombre moindre que n (liv. 2, pr . 8); de plus, a en contient n, donc 6*<a, <1 et ; donc la

fraction est une valeur de b approchée par excès à moins d’une demi-unité. Cela étant, si l’on remplace cette fraction par la partie entière q du quotient de la division de N— O* par 2 a en négligeant le reste r de cette division, on aura diminué d’une fraction moindre que l’unité et, par conséquent, le quotient q exprimera la valeur de b soit exactement, soit par défaut ou par excès à moins d’une unité. Pour distinguer ces trois cas, remplaçons pai’ dans l’égalité (1), ce qui donne

et supposons successivement 7=6, 7 <6, 7>6.

1 " Lorsqu’on a 7=6 ou 7®=6*, l’égalité ( 2 ) donne r=b'^ ou r=7* ; 2 " lorsqu’on a 7 < 6 ou 7^<6^, l’égalité (2) donne r>6* et, à plus forte raison, r>7*; 3 ° lorsqu’on a 7>ô ou 7^>ô^, l’égalité (2) donne r <6* et, à plus forte raison, r < 7*; donc, réciproquement , suivant qu’on aura r = 7*, r> 7*, r <7^ le quotient 7 sera la valeur de 6, et a +7 la valeur de VN, exacte, approchée par défaut ou par excès à moins d’une unité.

PROPOSITION XII

Lorsqu’ en extrayant la racine cubique d’un nombre entier à moins d’une unité, on a obtenu au moins la moitié plus un des chiffres de celte racine, on peut obtenir tous les autres par une seule division.

^82 COMPLÉMENT d’ ARITHMÉTIQUE.

En supposant que les lettres N, n, a, b aient une signification analogue à celle qu'on leur a donnée dans la démonstration précédente (pr. 11), on aura

N=aH3a'‘6 + 3û6H6’

et, par suite,

ou(2)\j?-=6 + ^(3+4).

Or on a obtenu au moins + 1 ou chiffres à la racine, donc la partie entière de b en contient au plus n — — ou ^ ; d’ailleurs a contient n chiffres, donc on a

fl— 9

ô<10“F et a = ou>10"-<, d'où l'on déduit

6»<10»-», 3a = ou >3X10»-', ~^<^-

Enfin, b étant moindre que n, on a 3-1- — <i ; donc

d’où il résulte que la fraction est une valeur de b approchée par excès à moins de Cela étant, si l'on rem-

place cette fraction par la partie entière q du quotient de la division de N— a’ par 3a* en négligeant le reste r de cette division, on aura diminué d’une fraction moindre que l'unité, et, par conséquent, le quotient q exprimera la valeur de b soit exactement, soit par défaut ou par excès à moins d’une unité. Pour distinguer ces trois cas, remplaçons par q+-^ dans l’égalité (1), ce qui donne

et supposons successivement ÿ = è, q<,ù, y>è.

1* Lorsqu’on a q = b ou = l'égalité (3). donpe

uvnE VI.

r=(3a+6)6® ou r = (3a +9)51’; 2° lorsqu’on a ^<6 ou l’égalité (3) donne r>(3a + i)ft^, et, à plus forte raison, rXlla+f/jÿ*; 3“ lorsqu’on a ou l’éga-

lité (3) donne r<(3a - 1-6)6* et, à plus forte raison, r<(3a-l-g)9*; donc, réciproquement, suivant qu’on aura

r=(3a-i-5r)g'*, r>(3a -1-9)5*, ^<(3a-l-ç)5*, le quotient g sera

la valeur de 6, et a -P 5 la valeur de v^N, exacte, approchée par défaut ou par excès à moins d’une unité.

PROPOSITION YIII.

Lorsgu’en extrayant la racine carrée d’un nombre entier N à moins dune unité, on a obtenu le nombre total a des dizaines de cette racine, de combien d’unités au plus la partie entière du guolient de la division qu'on effectue pour avoir le chiffre b des unités peutelle excéder ce chiffre?

Désignons par R l’excès de N sur le carré 100a* des dizaines de la racine. Pour trouver le chiffre 6 des unités, on divise par 2a le nombre total des dizaines de R ; donc, pour que l’excès de la partie entière de ce quotient sur 6 soit le plus grand possible, il faut que R et, par suRe, N soit le plus grand possible parmi tous les nombres entiers dont 10a -1-6 est la racine carrée à moins d’une unité. Or le plus grand de ces nombres est(i0o-t-6-f 1)*— 1 ou (lOa-flO)*— 1 en donnant à 6 sa plus grande valeur 9 unités ; donc on aura N = ( 1 Oa -1- 1 0)* - 1 = 100a* -(- 200a -I- 99 ; d’où l’on déduit

Le nombre des dizaines contenues dans R étant 20a -1- 9, on divise ce nombre par 2a, ce qui donne le quotient - 10-t-^ dont la partie entière maximum 10-f4 ou licorrespond à la valeur ininimun 1 du nombre a. Mais on a supposé 6=9, donc 14—9 ou 5 est le plus grand excès possible de la partie entière du quotient su r le chiffre des unités.

-184 COMPLÉMENT d’aIUTIIMÉTIQUE.

Remarqde. Lorsqu’on a a = ou > 5 , la fraction — est moindre que l’unité; donc, lorsqu en extrayant la racine carrée d'un nombre entier à moins d'xine unité, on a obtenu plusieurs chiffres à la racine ou un premier chiffre au moins égal à 5, la partie entière du quotient de la division qu’on effectue pour trouver l’un quelconque des chiffres suivants, ne peut excéder ce chiffre déplus d’une unité.

PROPOSITION XIV

Lorsqu' en extrayant la racine cubique d’un nombre entier N à moins d'une unité, on a obtenu le nombre total a des dizaines de celte racine, de combien di unités au plus la partie entière du quotient de la division qu’on effectue pour avoir le chiffre b des unités, peut-elle excéder ce chiffre?

En raisonnant comme dans la démonstration précédente (pr. 13), on est conduit à la relation

N= (10a + 10)’ - 1 = 1000a’ + 3000a’ + 3000a + 999, d’où l’on déduit

Le nombre des centaines contenues dans R étant 30a’ + 30a f 9, on divise ce nombre par 3a*, ce qui donne le quotient

dont la partie entière maximum 10+10 + 3 ou 23 correspond à la valeur minimum 1 du nombre a. Mais on a supposé è=9, donc 23— 9 ou 14 est le plus grand excès possible de la partie entière du quotient sur le chiffre des unités.

Remarqle. Lorsqu’on a a>10, la somme ~+-fr moindre que l’unité; donc, lorsqu’ en extrayant la racine cubique d’un nombre entier à moins d'une unité, on a obtenu plus deiOà la racine, la partie entière du quotient de