PROBLÈMES DIVERS

PROPOSITION XV

Étant donnée la valeur d’un nombre tt incommensurable, approchée à moins (Tune unité décimale aussi petite qu’on voudra, trouver le plus (jrand nombre (t unités contenues dans le produit de ir par un nombre entier.

Supposons qu’on ait 3,1^15926 etc., et qu’on demande le plus gi'and nombre entier contenu dans 12:r ou, autrement , la valeur de 12tc approchée à moins d'une unité. En multipliant 3,14 par 12, on a 37,68 < 12::; multipliant ensuite 3,15 par 12, ce qui revient à augmenter 37,68 de 0,12, on a 37,80 > 12 tc ; donc 37 est le plus grand nombre entier contenu dans 12tt.

Proposons-nous encore de trouver le plus grand nombre entier contenu dans 113??. En multipliant 3,141 par 113, on obtient un produit 354,933 < 113ir ; et l'on voit immédiatement qu'en ajoutant 0,113 à ce produit, on augmenterait sa partie entière d’une unité. C’est pourquoi on emploiera une décimale de plus dansla valeur deir, en ajoutant à 354,9.33 le produit 0,0005 x 113 ou 0,0113 X 5, ce qui donne le nouveau produit 354,9895 < 113 iï. On voit encore qu’en ajoutant 0,0113 à ce produit, on augmenterait sa partie entière d’une unité, ce qui conduit à employer une décimale de plus dans la valeur de w; et ainsi de suite, jusqu’à ce qu'on ait obtenu le produit 354,9999638 de 3,1415926 par 113. L’addition de 0,0000113 à ce produit ne modiGant pas la partie entière 354, on en conclut que 113iv est compris entre 354 et 355 ou que 354 est le plus grand nombre entier contenu dans 113 tc

^80 COMPLÉMENT d’aRITHMÉTICUE.

En général, étant donnée la valeur d!un nombre A t«commensurahle approchée à moins d'une unité décimale aussi petite qu'on voudra, pour trouver le plus grand nombre d'unités contenues dans le produit de A par un nombre entier N, on prend sur la gauche de A la partie entière et autant de décimales qu'il y a de chiffres dans N; on tnuUiplie le nombre qui en résulte par N; on ajoute au résultat le produit de N par le premier des chiffres décimaux qu’on a négligés, ce qui donne un nouveau produit auquel on ajoute le produit de N par la décimale suivante; et ainsi de suite, jusqu’à ce qu'on ait obtenu iin produit dont la partie entière ne soit pas modifiée par l’addition du multiplicateur N considéré comme exprimant des unités décimales du dernier ordre employé ; cette partie entière est le nombre demandé.

En observant cette règle, on est certain d’obtenir un produit dont la partie entière remplira la condition énoncée. Car, pour que la partie entière 354 des produits obtenus en cherchant le plus grand nombre entier contenu dans HStt fût constamment modifiée par l’addition de ■ 113 unités décimales du dernier ordre, il faudrait que la

partie décimale de 113 tc fût composée d’un nombre indéfini de chiffres 9; de sorte qu’on aurait 113ir = lim. 354,999... = 355 et, par suite, tc = fj|, ce qui est impossible, puisque le nombre est incommensurable.

CoHOLLAiHE. Pour obteiur le plus grand nombre de dixièmes, de centièmes, de millièmes, etc., contenus dans le produit d’un nombre incommensurable A par un nombre entier N , par exemple le plus grand nombre de centièmes contenus dans 4 iî , on observe que ce nombre de centièmes est égal au plus grand nombre d’unités contenues dans 4it X 100 ou dans ir x 100x4 ou dans 314,15926etc. x 4; de sorte que la question est ramenée à trouver le plus grand nombre entier contenu dans le produit d’un nombre incommensurable par un nombre entier. On trouve que le plus grand nombre entier contenu daus 314,15926 etc. x 4