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ABAQUE. Ltt fig. 3400 représente un petit appareil employé par le» sucions et aujourd'hui encore j«ir le* Kuw.es et le* Cliinoi* pour opérer le» calculs. L’aspect de la figure sufiit pour faire comprendre l'emploi de* boules repré*entant les chiffre* de* nombre* gui glissent sur des tringles gui les traversent.

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Chaque ligne représentant Ica unité* , dizaines, centaines, on écrit un nombre en repoussant ver* la gauche, dans chaque colonne, le nombre d'unité* de chaque espèce qui composent ce nombre. Ainsi, dans la disposition de la figure, le nombre écrit est 2706434. On effectuera une addition d'un nombre quelconque avec un nombre figuré de la sorte, en cherchant à l'écrire h la suite du premier on commençant par le* unités simples, c'est-à-dire en ajoutant ensemble le* unités de même ordre et reportant les retenues d'une colonne à la suivante, absolument comme dans les procédés ordinaires do l’addition.

M. L. Lalannc, ingénieur des ponts et chaussées, a construit un tableau graphique auquel il a donné également le nom d'Abaque, qui offre dos propriété* curieuses. 11 consiste dan* un tableau rectangulaire, 6g. 3401, dont le* côté* à angle* droits sont divisés en longueur* proportionnelles aux logarithmes des nombre* 1 , 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Il est clair que par l’emploi de* lignes parallèles aux côtés, menées par les points de division, et celui deB lignes à 45° passant par les points d'intersection des premières, pour revenir lire le chiffre marqué sur un des côtés (ce qui fournit l'addition des deux longueur* tracées sur les côtés du tableau), on trouvera les points correspondants à la somme des logarithmes et par suite aux produits des denx nombres lus sur les deux lignes extérieures. In versement la division de 6 par 2 s'obtiendra en suivant l’oblique 6 jusqu’à la rencontre de l'horizontale 2, le chiffre 3 correspondant à la verticale passant par le point de rencontre sera le quotient.

On voit que cet Abaque possède les propriétés de la règle à calcul, et qu'en considérant les chiffres latéraux comme appartenant à dos unité* d’un ordre élevé,

on peut faire avec son aide, et à simple vue, des calculs assez compliqué* (Voir Calcule» [machine a ). Mais, de plus, il a sur la rcglo certains avantage*. Ainsi nne ligne inclinée à 4 sur 4, d'un angle à l'autre du carré, donnera, en suivant l’oblique passant par un nombre jusqu’au point do rencontre de cette ligne, le nombre dont la racine carrée se trouvera au point de départ de la verticale passant par ce même point. Inversement les graduations de cctto ligno donneront le nombre dont le carré sera indiqué par l’oblique qui passe par le point de rencontre avec la verticale du départ.

On trouvera de mémo les racines cubiqnes à l’aide d'une ligne inclinée sur 2 do hauteur pour 4 de base ; les racines cinquièmes à l'aide des lignes inclinées à 4 de hase pour 4 de hauteur; le volume de lasphère à l'aide d'une ligne parallèle à celle de* cube* tracée à une distanco de l'origine égale au log. do \ x. Nous renvoyons pour les détails du maniement de cet Abaque, et la discussion de l’ordre des unités tconsidérées dons les calculs entre nombres de plusieurs chiffres, à l’instruction spéciale publiée par l’auteur.

M. I.ulanne a remarqué que le* résultats ainsi obtenus appartenaient à une théorie générale de géométrie ii laquelle il a donné lo nom à' anamorphique , et donc plusieurs applications importantes avaient déjà été faites, et peuvent se faire chaque jour dans l’industrie; la plus célèbre notamment est celle faite aux carte* marines, connue sous le nom de Projection de Mercator. (Voir Navioation.) Nous entrerons dans quelques détails à cet égard.

Depuis Descartes on sait qu'une courbe est propre à représenter les relations entre deux quantités variable* (Voir Introduction ), et cette vue de génie a permis de remplacer les tableaux représentant les relations de deux quantités liées entre elles, par des courbes.

De même une table numérique à double entrée représente un grand nombre de cas particuliers de la loi suivant laquelle une quantité variable dépend de denx autres, et on est conduit naturellement, par analogie avec le cas précédent, à l’idée de la remplacer par une surface courbe pour représenter la dépendance mutuelle qui existe entre trois quantité* variables, la loi même qui réunit les trois quantités.

Or, comme non* l'avons vu en parlant du nivellement (Voir Lxve des plans), le moyen de représenter *ur un plan une surface courbe consiste à projeter sur ce plan les courbes successives qui sont les intersections de la surface par des plans parallèles au plan d« projection, et à indiquer par une cote leur distance à ce plan.

Ces courbes représentent des équations à deux variable* que donne l’équation à trois variables de 1a sur-

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faoc, lorsqu’on donne une certain*) valeur h la variable perpendiculaire au plan de projection.

Tout ceci n’est que le résultat des principes fondamentaux de la géométrie analytique. Mais ce qui appartient k l'ordre «le conception que nous étudions ici, c’est ce qtio nous appellerons la Graduation des Coordonnées, qui fournit lo moyen do remplacer dans nombre «le cas des tables à double entrée par des construction* graphiques très-simples.

Les courbes dont nous avons parlé plus haut sont représentées par certaines équations, qui supposent en général quo les axes des coordonnées sont divisé* en longueurs égalescorrcspondnnt aux nombres 1 ,2,3, etc. Mais si on gradue les coordonnées suivant «me loi déterminée, les nouvelles coordonnées x*, y’ d’un • point

sidérons l'équation qui indicpie le produit do «lenx nombres s = x y, on sait que cette équation représente une surface dite hyperboloïde h nne nappe, dont les différentes intersections seraient difficiles k tracer. Mais si l’on remplace ces quantités par leurs logarithmes, si on pose *' = Log. x, y* = I*og. y, on aifrn I-og. »»**' -+-i (.

Or, on sait que l'équation x -f-y =* n, représente une ligne inclinée a 45" sur les axe* «les coord«»nnées. Toutes les lignes do niveau de la surface, «lont l’équation est : = ry deviendront donc des lignes droites parallèles entre elle* et inclinées à 45° sur les axes des coordonnées, par le fait seul quo lo» axes auront été gradué* suivant le* logarithmes des nombres naturels, an lieu d’être divisé» en parties égales.

seront «lans un rapport connu, avec Tes coordonnées ordinaires x, y; autrement dit x* sera une fonction de x, y’ nne fonction do y. Si donc dans l’équation on remplace x et y par leurs valeurs en x’ et y’, on aura une n«mvelle équation do courbe, et si la grndantion est déterminée convenablement , une courbe plu* simple que celle obtenue d'qbord.

Ce résultat est surtout important lorsqu'il permet de remplacer de* courbes pnr de» lignes droitos dont l'espacement varie.

Ccst ce qno l’on «>btient dans lo cas remarquable par se» nombreuse» application» pratiques où il *’nglt «lu produit d’x et d'y, en prenant les logarithme» de» nombre* nu lieu de ceux-ci ; tel est le «nts de l'nbaque décrit ci - dessous. En glFet , si nous eon-

Les graduations suivant les logarithmes sont celle» q-ii présentent le pin» de ens d’application» on permettant de construire dé» abaque» qui *o rapportent aux produits de plusieurs quantités. On a pu ainsi construire des abaque* pour le poids de* fer», lo calcul des intérêt*, la conversion de» numéros de» fils anglais en numéros français, etc.

M. Lalnnnc n appliqué lo prineipo de la graduation de» coord«mnécs k l’cxéention «le tableaux ne renfermant que des lignes droites, pour l’évaluation du calcul des déblai* et remblai» pour la construction des chemins de fer. (Voir Annales des ponts et chaussées, année 4846.)

Échelle logarithmique. Tou» le» moyen* d’employer les division» logarithmique» , tant la règle à calcul npértmt par glissement de la coulisse que

ACIER PUDD1.E.

ABAQUE

P Attaque ci-dcssu*, eo réduisent h des moyen* d'ajouter «Je* longueurs déterminées, ou d’en soustraira une d’une mitre. 11* offrent toujours qnelqu’erabnrra* dans la pratique, pour déterminer le nombre de chiffre* d'un profluit ou d'un quotient, suivant l'ordre des unité* qu’on a fait repr«;*enter par les divisions de l’échelle. L' embarras qui en peut résulter pour le* calcul* assez simple* (pour ceux plus compliqués, de* tables de logarithme* seront toujours préférée* ) peut être évité pur lu disposition représentée ci-descou*, h l’aida de laquelle toute* le* opération* dan* lesquelle* on ne considère pas de nombre* supérieur* h 40,000, sont obtenue* directement.

Il est facile de montrer par quelque* exemples la simplicité de cette application de* logarithmes, et par suite l’utilité de ln disposition quo je propose, et qui

est représenté fig. 3402.

dont le ü* est 395, 7. Cette division nou* reporte h iino division qui tom!»c entre 6,1 et 6,2 et fournit » vue environ 6,17 ou 6,18. I.c premier nombre élevé à la 5* puissance donne 8944, le second 9013. On a donc toute l'exactitude qui peut être obtenue par l'emploi de semblable* échelle*, et cela avec une grande facilité, même pour de* opérations très-compliquée*.

ACIER PUDDLft. Le* procédé* de fabrieat km directe «le l’acier au four h puddlcr ne sont pas encore vulgarisés; les renseignement* que renferme le rapport du Jury de 4855, sont toutefois suffisant* pour bien taire comprendre en qnoi consiste ce mo«le de travail.

Jusqu'il ce* dernier* temps, on n'a pratiqué que deux manières d'obtenir «le l'acier, soit l’élaboration de fonte* »pécin!cfl et quelquefois de minerais de fer de qualité supérieure, dans un foyer à tuyère alimenté au charbon do bois, soit la cémcutation opérée *ur du fer en barres

La multiplication et ln division se réduisent à l'addition et h la soustraction «le* nombres placés n gauche, l’élévation h une puissance ou l'extraction d’une racine ii une multiplication ou n une division simple par l'exposant de ln puissance. Soit par exemple à extraire la racine 5* de 9,000. l.c chiffre de* divisions de , gauche correspondant h9,090 sera sensiblement 1 978.5

«le premier choix. I.o combustible minéral, sauf pour le chauffage des caisses de cémentation, était exclu d’une manière absolue ; l'emploi des fourneaux à rêver- Itère ne paraissait pas possible.

Le prix do l’acier rc ressentait de ces condition* de fabrication, et en restreignait beaucoup l’emploi. Or, In tendance «fc beaucoup d'industries c«t, an contraire,

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ACIER PUDDLK.