NOTIONS SUR LES DÉRIVÉES

petite que toute quantité donnée quand u croit indéfiniment. S a donc pour limite -j— - —

28. — Théorème. — Lorsque plusieurs quantités, en nombre fini, tendent respectivement vers certaines limites, la limite de leur somme est égale à la somme de ces limites.

Soit par exemple trois quantités u, v, w, qui tendent vers les limites L, L', L". On peut les représenter par L -j- ï, L' -|- e', L" -[- e"i en désignant par z, e', e" des quantités qui deviennent plus petites que toute quantité donnée. Ainsi la somme u -\~ v-\-iv est égale à L-|-L'-T-L"-f-' + s' + ï".II est évident que t-\- z' -f-s" devient plus petit aussi que toute quantité donnée. Ainsi

\ini{u + v-\-w) = L-^L'-\-l"-

29. — Corollaire, -^ Lorsque deux quantités données tendent respectivement vers des limites déterminées, leur différence tend vers la différence des limites. Cette proposition est un cas particulier de la précédente, puisqu'une différence est une somme algébrique.

30. — Théorème. — Lorsque plusieurs quantités données, en nombre fini, tendent vers certaines limites, leur produit a pour limite le produit de ces limites.

En effet, le produit des trois quantités considérées dans le théorème précédent est (m-{-s) (c+^O {"'4'^")' En le développant, on voit qu'il se met sous la formule uvw-{-h,li étant une somme de termes, en quantité finie, qui contiennent tous en facteur au moins l'une des quantités £,£',£". Chf^que terme de A devient plus petit que toute quantité donnée, et il en est de même de leur somme.

31. — Théorème. — Lorsque deux quantités tendent vers certaines limites, leur quotient a pour limite le quotient de ces limites.

En effet, soit « et i; deux quantités qui tendent vers

certaines limites, Q leur quotient. De i'égalité m = tire, d'après le théorème précédent :

lim u= lim v X Hm Q,

dou lira Q^ -.

lim V C.Q.F.D.

d'une fonction.

32. — Définition. — Considérons d'abord une fonction très simple î/:=^3;'. Si l'on donne à œ un accroissement quelconque /;, la fonction prend la valeur (x-{-h) ^, et son accroissement est donné par la formule

Divisons par h :

Cette limite s'appelle la fonction dérivée où simplement la dérivée de y.

En général, la dérivée d'une fonction est la limite vers laquelle tend le rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable lorsque ce dernier tend vers zéro.

Il peut arriver que, pour certaines valeurs de la variable, le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable ne tende pas vers une limite déterminée lorsque Taccroissement de la variable tend vers zéro ; pour ces valeurs, la fonction n'a pas de dérivée.

33. — Lorsqu'une fonction est désignée par y, sa dérivée se représente par j)'. Souvent aussi on représente une fonction de a? par la notation f(x). Sa dérivée se représente alors parla notation f'(x).