NOTIONS SUR LES DÉRIVÉES
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3i. — Interprétation géométrique de la dérivée. — Imaginons qu'on ait tracé la courbe représentative de la fonction
supposée continue dans un intervalle donné. Soit (flg. 16) OP = ir l'abscisse, PM =^ y Pordonnée d'un point de la courbe, x étant compris dans les limites de )a continuité.
Donnons à !c un petit accroissement PP'— A, et supposons que Pordonnée correspondant à l'abscisse x-\-h soit P' M', que nous désignerons par ^ "-J- ^■ Menons la parallèle MQ à l'axe des m, QM' est égal à k, et le
rapport r est le coefficient angulaire de la sécante MM'.Faisonsmaintenanttendreftvers zéro, la sécante MM' tend vers
la tangente au point M, le rapport -r vers la dérivée /"'(le).
Donc la dérivée d'une fonction est le coefficient angulaire de la tangente à la courbe représentative.
Dans le cas où les coordonnées sont rectangulaires, la dérivée est la tangente trigonométrique de l'angle que fait la tangente avec l'axe des x.
m ALGËISRE.
Quels que soient les axes, si la dérivée est nulle, la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des x (fig. 17) ; si la dérivée est infinie, la tangente est parallèle à l'axe des y (fig. 18). — Voir en effet n° 17.
35. — Remarque I. — Si la fonction se réduit à une guatitité constante, la dérivée est nulle. Car l'accroissement k de la fonction étant constamment nul, le rapport
~ est nul, et il en est de même de sa limite.
Dans ce cas la courbe représentative de la fonction se réduit à une droite parallèle à l'axe des x.
Remarque II. — Réciproquement toute fonction dont la dérivée est constamment nulle, se réduit à une comtante.
Car la tangente à la courbe représentative est constamment parallèle à l'axe des x. Cette courbe doit donc se réduire à une droite parallèle à l'axe des x.
36. — Dérivées de différents ordres, — On appelle dérivée seconde d'une fonction la dérivée de sa dérivée, dérivée troisième la dérivée de la dérivée seconde, et ainsi de suite. Les dérivées seconde, troisième, etc., de y se représentent par y", y"', etc.
