NOTIONS SUR LE CALCUL DES DÉRIVÉES

37. — Dérivée d'une somme, — La dérivée d'une somme de plusieurs fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions.

Soft en effet la fonction

M, V, vj étant des fonctions de x. Si l'on donne à a; un accroissement Ax, u, v, w, y prennent respectivement des accroissements que nous représenterons par Au, Av, Aw, Ay. Il en résulte :

Ay — Aîl -{-Av-\- Atv, et en divisant par àx :

Atc Ax '

Faisons décroîîreindéfinimentAx, ces rapports tendent vers les dérivées des fonctions y, u, v, w. Donc y' = u'-\-v'-\-w'.

Si la fonction tv, par exemple, se réduit à une constante, sa dérivée est nulle, alors

38. — Dérivée d'une différence. — La dérivée de la différence de deux fonctions est égale à la différence de leurs dérivées.

Soit y = u—v.

En adoplaiit la même notation, on trouve :

Ay Au Av

Ax àx Ax !t, en passant à la limite :

Corollaire. — Deux fonctions qui ont même dérivée pour toutes les valeurs de la variable ne ditTèrent que par une constante.

En effet, la dérivée de leur différence, étant égale à la différence de leurs dérivées, se réduit à zéro. Donc la différence des fonctions est constante (n° 35).

39. — Dérivée d'un produit. — La dérivée du produit d'une fonction parune constante est égale au produit de la dérivée de la fonction par la constante.

Soit y = au, a étant une constante. On a évidemment:

y-]-Ay = a{u-\-Au),

d'où, par soustraction, Ay:^aAu, et en divisant par Ax :

Ay Au

Ax'~' Ax En passant à la limite, on trouve donc y' := au'.

40. — La dérivée d'un pj'oduit de deux fonctions est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée de chaque fadeur par Vautre facteur.

Soit y = uv. On en déduit :

y-\-Ay^(u-i-Au) (w-j-At-),

Développons le second membre, et soustrayons la première égalité de la seconde :

Ay =i vAu-\-UAv -f- Au. Av.

Divisons'par Ax :

Ay Au , Av , Au ,

~^=zV \-U \-- — A!)'

Ax Ax ' A:d ' Ax