CALCUL DES DÉRIVÉES

Ax ÙlX AX tendent vers y', u', v' ; le dernier terme de cette équation

est un produit de deux facteurs dont le premier — tend

vers m', quantité que nous supposons finie, et dont le second A.V tond vers zéro. Ce terme tend donc lui-même vers zéro, et l'on trouve :

41. — La dérivée d'un produit de plmieurs fadeurs est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée de chacun des facteurs par le produit de tous les autres.

Soit d'abord un produit de trois facteurs î

y = u vw.

Ce produit peut être considéré comme produit de deux facteurs, uv et w. D'après la règle précédente, en désignant par (uv)' la dérivée de uv, on peut écrire ;

y'^w{uvy+uvw',

et en remplaçant (uv)' par sa valeur vu'-j- uv' :

y' = u'vw-{-v'uw-\-v}'uv.

On passe de même de la dérivée d'un produit de trois

facteurs à la dérivée d'un produit de quatre, et ainsi de

suite.

42. — Dérivée d'une puissance. — Soit ^ = m"", m étant un nombre entier et positif. Le second membre est le produit de m facteurs égaux à u. D'après la règle précédente, la dérivée de ce produit se trouve en prenant la dérivée u' de chaque facteur, en la multipliant par le produit de tous les autres, W""', et en ajoutant tous les produits ainsi obtenus. Or ils sont tous égaux, et leur nombre est m. Donc la dérivée de u"" est :

y' = mu"'~^u'.

En particulier, si îi^x, on a u'=:i. Donc la dérivée de X'"- est mx'""^. Par exemple la dérivée de x^ est 2i», celle de x' est Sx^, etc.

A3. — Dérivée d'un quotient, — La dérivée du quotient de deux fonctions est une fraction dont le numérateur est égal à la dérivée du numérateur multîpHée par le dénominateur, moins la dérivée du dénominateur multi' pliée par le numérateur, et dont le dénominateur est le carré du dénominateur du quotient donné.

Soit

On en déduit :

, , u4~Au ■' ' " V -\- Av d'où, par soustraction :

__ u-[~Au u

^ ~ ï' + Ao T;'

Réduisons au même dénominateur dan; membre :

^~ viv + Av)' Divisons par Ax :

Aj/ Ax

Ax v{v-\~ Av)

, . 1 . ' Ail Au Av . -, . 1,1

Aœ tendant vers zerOî t^j-t— j-i— tendent vers u, u', «,

Ax Ax Ax le dénominateur tend vers v^ puisque Af tend vers zéro. Donc