Exemples. — La fonction

atteint un maximum pour x =; 1. En effet /(l) = 2, f(i + h) ^ 2 — /[', d'où /■(! + h) — f(i) = — h% quantité négative quel que soit h.

La fonction

atteint un minimum pour x^i. En effet f(i)=^'i, f(i-\-h) = 'ifh'ii-\-h},d'oùf(i~\-h)—f{i) = h'ii-^h). Cette quantité est positive quel que soit le signe de h, pourvu que h soit plus petit que 1 en valeur absolue.

49, — Théorème. — Si une fonction, continue dans un certain intervalle, est constammsnt croissante ou constamment décroissante dans cet intervalle, sa dérivée est, dans le premier cas, consta^nment positive ou nulle, dans le second, constamment négative ou nulle.

En effet, x elx-\-h étant des valeurs de la variable comprises dans l'intervalle considéré, f{x-\-h) — f(x) est, dans le premier cas, de même signe que h. Donc le

rapport ' ■ . — '-^ est constamment positif, et sa

limite, quand h tend vers zéro, est toujours positive ou nulle. On voit de même que, dans le second cas, elle est toujours négative ou nulle.

Si l'on pose y= f{x), et que l'on construise, en coordonnées rectangulaires, la courbe représentée par cette équation, suivant que l'ordonnée est croissante ou décroissante (lîg, 19 et 20), la tangente à la courbe fait avec l'axe des x un angle compris entre zéro et 90 degrés, ou entre 90 et 180 degrés. Cela résulte du théorème précédent et de la signilScation géométrique de la dérivée.