VARIATION DES FONCTIONS

50. — Théorème. — 5î une fonction a sa dérivée constamment positive, ou constamment négative pour toute valeur de la variable comprise entre deux limites a et p, la fonction est constamment croissante ou constamment décroissante , pour toutes ces valeurs de la variable.

En efFet supposons la dérivée constamment positive dans l'intervalle considéré : la fonction ne peut être décroissante pour aucune des valeurs de la variable, puisque alors sa dérivée serait négative ou nulle (n" 49). Elle ne peut non plus être constante dans une partie de l'intervalle considéré, puisque sa dérivée serait nulle dans tout cet intervalle {n" 35), Donc elle est constamment croissante.

La démonstration est la même dans le cas où la dérivée est constamment négative.

51. — Remarque. — Le théorème subsiste si la dérivée s'annule sans changer de signe, pour certaines valeurs particulières de la variable. Car, si cette dérivée est positive par exemple, quand a; varie entre a et p, sauf qu'elle est nulle pour une valeur k Ae x comprise entre ces limites, elle est positive de « à fe — t, etdeÈ-|-e à p, E désignant une quantité positive aussi petite que l'on voudra. Donc la fonction est croissante de « à i— e, et aussi de fe + e à p. En faisant tendre s vers zéro, on voit que la fonction est croissante de a à &, et aussi de A à p ; donc elle est croissante de a à p.

52. — Le théorème précédent est important, puisqu'il fait connaître, d'après le signe de ta dérivée, si une fonction est croissante ou décroissante dans un intervalle donné. Son interprétation géométrique est très simple. En supposant par exemple les coordonnées rectangulaires, l'ordonnée de la courbe représentée par l'équation y=f{x) est croissante en un point A (fig. 19) où la tangente fait un angle aigu avec l'axe Oa^, décroissante en un point E où la tangente fait un angle obtus avec le même axe.

Il reste à esarainer le cas où la dérivée est nulle.

Maximum et ininim,uin.

53. — Théorème. ~ 1- Si une fonction f (x), continue ainsi que sa dérivée entre deux valeurs a et ^ de la variable, atteint un maximum ou un mimimdh pour une valeur k de la variable comprise entre ces limites, la dérivée change de signe en passant par zéro quand k traverse la valeur k.

2° Dans le cas du maximum, la dérivée passe du positif au négatif quand x en croissant traverse la valeur k; dans le cas du minimum, le changement de signe de la dérivée est du négatif au positif .

3= Réciproquement, dans les mêmes hypothèses, si la dérivée s'annule en changeant de signe quand x passe par la valeur k, la fonction atteint pour cette valeur «« MAXIMUM ou un MINIMUM, suivant que la dérivée passe du négatif au positif ou inversement.

En effet, si la fonction atteint un maximum^ pour x=^'k, valeur représentée par OD dans la figure 19, la fonction est croissante lorsque x est un peu inférieur à k, décroissante lorsque x est un peu supérieur à k. Donc sa dérivée devient, de positive, négative quand x en croissant franchit la valeur k ; et, puisque cette dérivée est continue, elle ne peut changer de signe qu'en passant par zéro.

Deniêrae,silafonctiQ.nprésenteunmmmMmpour3î=ft,

MAXIMUM ET MHIMUM. 31

valeur représentée par OD dans lafigure 20, cette fonction devient, de décroissante, croissante quand x francliit la valeur k par des valeurs croissantes. Donc la dérivée devient, de négative, positive en passant par zéro.

Réciproquement, si la dérivée change de signe pour x=^k, la fonction devient, de croissante, décroissante ou inversement suivant que la dérivée passe du positif au négatif ou inversement. Il y a donc maximum dans le premier cas, minimum dans le second.

54. — Remarque. — D'après le théorème précédent, lorsqu'une fonction est continue, ainsi que sa dérivée, dans un certain intervalle, les maxima et les Jninima compris dans cet intervalle ont tous lieu pour des valeurs de x qui annulent sa dérivée. Mais ces valeurs ne correspondent pas nécessairement toutes à un maximum ou à un minimum. Pour qu'il en soit ainsi de l'une d'elles fc, il faut que la dérivée change de signe quand x franchit la valeur k.

En d'autres termes, les maxima et les minim.a de l'ordonnée, dans la courbe représentative, ont tous lieu en des points où la tangente est parallèle à l'axe des x ; mais il est possible que tel de ces points ne réponde ni à un maximum ni à un minimum.

Si en effet la dérivée s'annule pour aï r= k, valeur représentée parOD dans la figure 21, mais ne change pas de signe, en sorte que par exemple ellesoit positive pour des valeurs OR .,. „,

un peu plus petites que OD,

ainsi que pour des valeurs OF un peu plus grandes, la fonction est constamment croissante de OB à OF, bien que la tangente au point C correspondant à l'abscisse k soit parallèle à i'axe des x. En un pareil point la tangente en G laisse de part et d'autre les deux arcs GA, CE, répondant respectivement à des abscisses un peu plus petites et un

peu plus grandes que k. On dit que la courbe a en C un point d'inflexion.

De même, si la dérivée, nulle pour a; = fc, était constamment négative pour des valeurs un peu plus petites que k, ainsi que pour des valeurs un peu plus grandes, la fonction serait décroissante en C, et n'aurait pas de minimum en ce point.

55. — Règle. — Pour trouver les MAxmi et les MiNiHA d'une fonction, compris dans un intervalle dans lequel la fonction est continue ainsi que sa dérivée, on égale la dérivée à zéro. Chaque racine de l'équation ainsi obtenue répond à un maximum ou à un minimum de la fonction suivant que, x , traversant cette racine par des valeurs croissantes, la dérivée passe du positif au négatif ou inversement. Une racine pour laquelle la dérivée ne change pas de signe, ne répond ni à un maximum ni à un