MAXIMUM ET MINIMUM

la fonction est continue, on étudie la fonction, au moyen des propriétés de la dérivée, entre les intervalles « et p — j^p|s et ^ ^Ej ? + E et p, E désignant une quantité positive très petite. Au reste, celte particularité ne se présente pas dans les fonctions simples que nous nous proposons d'étudier.

56. — Maximum et minimum relatifs et ahsolus. — Les développements qui précèdent font comprendre qu'une fonction peut avoir plusieurs maxma et plusieurs minima, et qu'il n'y a aucune contradiction à supposer un minimum plus grand qu'un maa:inium.

Ainsi l'ordonnée de la courbe représentée, figure 22, a deux masima, en A et en C, deux mintma, enB etenD,etIe mîBiJttMm en D est plus grand que le maximum en A. pic. 22,

On entend par maximum et minimum absolus un minimum plus grand ou un minimum plus petit que toutes les valeurs dont la fonction est susceptible. Les autres maxima et minima sont dits relatifs.

57.^ Concavité. — Lorsqu'une droite passe par un point fixe et que son coefficient angulaire croît, elle prend des positions successives telles que OA, OB, OC, OD : elle tourne dans le sens dont il faut déplacer la partie positive de l'axe des x autour de l'origine pour l'amener sur la partie positive de l'axe des y par le trajet le plus petit. Ce Sens est dit le sens direct de rotation. Il est indiqué par la flèche dans la figure 23-

Au contraire, lorsque le coefficient angulaire de la droite décroit, elle tourne dans le sens inverse.

Cela posé, si la dérivée d'une fonction prend des valeurs croissantes, puisque cette dérivée est le coefficient angulaire de la tangente à la courbe représentative, la tangente qu'on peut supposer transportée parallèlement à elle-

même en un point fixe, tourne dans le sens direct (fig. 24). Si, au contraire, la dérivée est décroissante, la tangente tourne dans le sens inverse. On dit que la courbe tourne sa concavité, dans le premier cas, vers les y positifs {i^g. 24), dans le second vers les y négatifs (fig. 25).

La dérivée première est croissante ou décroissante suivant que la dérivée seconde est positive ou négative. D'où cette règle : Une coîirbe tourne sa concavité vers les y positifs ou vers les y négatifs suivant que la dérivôe seconde de l'ordonnée est positive ou négative.

58. — Les points où la concavité change de sens s'appellent points d'inflexion : tel est le point M de la figure 26. Leur caractère algébrique est qu'en ces points la seconde dérivée change de signe. Si elle est continue, elle doit donc s'annuler.