Soit la fonclion

où mot n désignent des constantes. Nous avons vu que la ligne représentative est une droite (n° 14). Mais nous pouvons, comme exercice, étudier par le moyen de la dérivée, les propriétés de la fonction.

Il est évident que y a une valeur, et une seule, pour chaque valeur de x. La dérivée est :

Cette dérivée étant constante, la tangente à la ligne représentative fait, en tous les points, le même angle avec l'axe des x, ce qui suffit à prouver que cette ligne représentative est une droite.

Suivant que m est positif ou négatif, la fonction est constamment croissante ou co"nstarament décroissante ; ce résultat est conforme à ce que nous avons déjà trouvé, puisque m est le coefficient angulaire (n" 17). Voir les figures 12 et 13, page 13.

Trinôme du second degré.

CO. — Soit la fonction

y=i ax^ -{- bx-\-c. (i)

A chaque valeur de x correspond une valeur de y et une seule. D'ailleurs y est fonction continue de x.

Supposons d'abord que a soit positif. Prenons la dérivée de y :

y' =^1 ax + b. (2)

Cette dérivée est négative si '■^< — ^

nulle si ^ ~ ~ 57»

b positive SI a; > — ô-

Donc,

nuand x croît de — coà — ^t—, la fonction décroit;

elle atteint un minimum quand x = — ;;- !

et enfin elle croît quand x croit de — ^ b.-\-tyi^.

Cherchons les valeurs de y correspondantes à des valeurs infinies de x. On peut écrire ;

Quand x croit indéliniment par des valeurs soit positives, soit négatives, le premier facteur x'' croit indéfiniment par des valeurs positives ; le deuxième tend vers la

quantité positive a, puisque les termes -i -ji dont le

dénominateur croit indéfiniment, tendent verszéro. Donc y tend vers l'infini positif.

ÉrUDE m «UELOKES FONCTIONS ENTIERES.

Lorsque x prend la valeur — ^^ ij prend la valeui

Ua

Tel est le minimum de y.

En résumé, quand x croit de —ooà — —, y décroît

quand x croît de — ^ à -f- oo, |/ croît du minirmim jusqu'à + oo.