Courbe représentative. — Prenons sur l'axe
des aï (fig. 27) la longueur OB ^ ~^, menons l'or-
donnée correspondante BA = j ; A est le point
de la courbe d'ordonnée minimum. La tangente en ce point estparallèle k l'axe des X, et la courbe est tout entière au-dessus de cette tangente.
Faisons maintenant croître l'aijscisae x ou , OP de — oc à OB : l'or- ■ donnée PM décroit de l'infini positif à BA. Il en résulte un arc inlini MA, dontles points commencent parse trouver, "
dans l'angle yOx', à une distance infinie de chacun des axes. Ensuite faisons croître l'abscisse OP' de OB à -f oo : l'ordonnée P'M' croit de BA à -|- oo ; il en résulte un arc infini AM' dont les points s'éloignent, dans l'angle fjOx, à une distance infinie de chacun des axes.
62. — Sens de la concavité. — La dérivée y' étant PoBCHOH. — Compl, alg. et géom. 3
..jft-...
PO
croissante, la courbe tourne sa concavité vers les y positifs.
63. — Signe du mlnimuin. Racines du trinôme. — Supposons toujours a positif. Si fi-— 4«c est négatif, le minimum BA de l'ordonnée est négatif: c'est le cas de la figure 27.
Si &^~-4flcest nul, lemwmMmde l'ordonnée est nul: c'est le cas de la figure 28.
Enfin, si 6^ — 4 ac est négatif, le minimum Bk est positif : c'est le cas de la figure 29.
Ftc. 28. flG. 29.
Dans le premier cas, celui où b- — Aac est positif
(fig. 27), quand x croit de — oo à — ^, y décroît de
-f-oo à une valeur négative : y s'annule donc pour une
valeur de x, soit OR', comprise entre — ooet — 5--
Puis, X croissant jusqu'à -\- os, y croit d'une valeur négative jusqu'à -j- 00 ; donc il s'annule encore une fois
pour une valeur OR" de x comprise entre et -|- 00.
Aux points qui ont pour abscisses OR' et OR", la courbe coupe l'axe des x. Ces abscisses sont deux racines de l'équation
ax' -\- bx -\- c = 0. (4)
yGoosle
ÉTUDE DE ÛliEl-OrES FONCTIONS ENTIÈRES. 39
On voit donc que si 6' — 4 ac est positif, l'équation (4) a deux racines réelles et inégales.
Dans le deuxième cas, celui où 6^ — 4 ac =: (fig. 28), y ne s'annule que pour une seule valeur de x, qui est
égale à — s-j et est représentée par OB, L'équation (4)
n'a donc qu'une seule racine ; mais, si l'on suppose que 6' — 4 (te, d'abord positif, décroisse jusqu'à zéro, les deux points R',R" tendent vers le point B et l'on peut dire que î'équation, à la limite, a deux racines égales.
Dans le troisième cas, celui ofi 6' — 4bc est négatif {fig. 29), y ne s'annule pour aucune valeur de x, et l'équation (4) n'a aucune racine réelle.
Ces résultats sont conformes à ceux qu'on a déjà trouvés dans la discussion de l'équation du second degré '.
64. — Nous avons supposé jusqu'ici a positif. S'il est négatif, rpprésentons-le par — «'. Alors y ^=: — a'x^ -\-bx -\- c, ou, en changeant les signes :
— y = a'x^ — bx — c, ce que nous écrirons:
Comme a' est positif, — y a. précisément la forme (i), n" 60, et présente les variations mêmes que nous avons trouvées à y, quand a était supposé positif. La courbe représentative est donc celle que nous avons obtenue ci-dessus, sauf que l'ordonnée est changée de signe; en d'autres termes, il faut faire tourner la courbe de 180 degrés autour de l'axe des x.
b'^ — ia'c' n'est autrequeÈ' — 4 ac, puisque a' = — a, et c' = ~ c. Donc, la courbe a la forme représentée
