Étèments d'algèbre, 5'éil.,n
dans les figures 30, 31, 32, suivan( que ¥positif, négatif ou nul.
Il y a un maximum BA, au lieu d'un minimicm,
Signe du trinôme. — Il résulte de l'étude des
variations de la fonction, el
' les figures représentatives
mettent en évidence que si
s ^ b^—iac est négatif ou nul, le
1 trinôme est, quel que soit aî,
de même signe que a, et que, si b^ ■— iac est positif, le trinôme est de même signe que a ou de signe contraire, suivant qu'on donne à a> une valeur extérieureou intérieure aux racines.
C'est le théorème qui con-
i résolution do l'inégalité rationnelle du second
duil à 1 degré '.
66. — Méthode de la décomposition en carrés. - On parvient aux mêmes conséquences sans se servir d
J-rVffE UN QUELQUES FONCTIONS ENTIERES. 41
Ja dérivée. Il suffit' de mettre l'équation (t) sous la forme
Commençons par étudier la fonction entre crochets. Posons :
X croissant de — oa à — g~ , la (juantité a; -f- âr ^^t négative, et crott algébriquement de — oo à zéro, c'est-àdire que sa valeur absolue décroit de co à zéro. Donc son carré décroit de -|-oo à zéro. Ensuite x croissant de
■~5^à4-oo,ic-|-s^croit
de zéro à -|- o», et il en
est de même de son carié.
La courbe représentative
de la fonction yi a donc la
forme Si indiquée par la
figure 33; elle est tout en- l'ic ;i^.
lière du côté des i/ positifs
par rapport à l'axe des x, et touche ce dernier au point B
dont l'abscisse est OB = -
Faisons
2fl
îintenant
Pour passer de la courbe Sj à la courbe représentée par l'équation (8), il suffit d'ajouter algébriquement à
toutes les ordonnées de S, la quantité Ilxe j— ^ — , ou,
]. Éléments d'algèbre, 5' éd., ii" 1S7.
en d'autres termes, de faire glisser la courbe Sj parallèlement à l'axe des y, de la quantité j-^ — , prise avec
son signe.
Si 6^ — 4 ac est positif, il faut faire glisser la courbe dans le sens des y négatifs, et l'on obtient la courbe Sa-
Si 6^ — ■ 4ae est négatif, le glissement se fait dans le sens contraire, et l'on obtient la courbe S \.
Eu tout cas, yi a un minimum BA ou BA', répondant
à l'abscisse 0B = —à—-
Enlin, pour construire la courbe que représente l'équation {6}, comme y = ffli/a, il faut multiplier par « toutes tes ordonné es de s courbes S^ou S'j. Si a est p.ositif, toutes les ordonnées varieront proportionnellement en conservant leur signe, et l'aspect général ne sera pas changé. Si « est négatif, toutes les ordonnées changeront de signe, et l'on obtiendra les figures 30, 31, 32.
67. — Propriétés géométriques de la courbe. — L'équatioii(6) prouve que, dans le cas des axes rectangulaires, la courbe est symétrique par rapport à la parallèle zz', menée à l'axe des x (flg. 34) à la distance
OB = ~eA-- Car, si l'on
fait a; = — I 1- h, ce
qui revient à prendre l'axe des x, à partir du point B, les segments = + ft, BP == — h, on trouve pour y la même valeur :
is ordonnées P'M', PM correspondantes à ces deux
— Pô
ÉTCDE DE QUELQUES FOSCtlOSS ENTIÈllES. 43
abscisses sont cîone égales. Si l'on fait tourner la figure BPM de 180 degrés autour de z'z, PM s'applique sur P'M', céqui montre que les points de la courbe sont symétriques deux à deux par rapport à la droite z'z\ cette droite est un axe de symétrie,
En particulier, les points R' et R", qui répondent aux racines de l'équation «a;' + ftic-4-C = 0, sont symétriques par rapport au point B.
Mais
OR = OR'-t-li'B, OB -- OR" — DR".
Ajoutons membre à membre : les termes R'B, — BR" se détruisent. Il vient :
2 OB = OR' + OR", et en désignant par x' et x" les racines :
68. — Voici une autre propriété. Menons la droite MM'; en vertu de la symétrie, elle est perpendiculaire à l'axe de symétrie z'z. Soit Q le point où elle coupe cet' axe. Désignons DP' para;, P'M' = BQ par ^. Comme
OB = — ^, BP', ou QM', qui vaut œ — OB, vaut donc X -j- ^. L'équation (6) peut donc s'écrire :
PourFalJscisseOB;^— ^, l'ordonnée prend la valeur b'- — kac
Retranchons membre à membre ces deux égalités ;
yGoosle
