ÉTUDE DE QUELQUES FOMCTIONS ENTIÈRES

Cette dérivée s'annule quand un de ses facteurs nule, c'est-à-dire pour deux valeurs de x :

Oet^

puisque nous ne donnons pas à ic de valeurs négatives. La seconde de ces valeurs est imaginaire ou réelle suivant que p est positif ou négatif. Nous distinguerons donc deux cas.

!"■ cas ; p > 0. — La dérivée, d'après la formule (2), est nulle poura^ = 0, puis positive pour toute valeur positive de a;. Donc la fonction est constamment croissante. D'ailleurs pour a;; = 0, ;/ = (? ; pour ic = oo, on voit comme précédemment (n° 60) que !/ ^^oo, La valeur y ^=5 est un •aiinim.ii'Ht, puisque, a- croissant, la dérivée passe du négatif au positif en s'annulantpour ic^O.

En résumé, x croissant de zéro à -j- =^i !' '^■''^î* ^'^ ***'" nimumq à-f-o«. Si a; décroît de zéro à— 00, ;/ passe par les mêmes valeurs.

La courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ^. Le coefflcientangulaire^'dela tangente croît de zéro à -|-oo lorsque x croit de zéro à -^ 00, c'est-àdire que l'angle de la tangente avec l'axe des x croît de zéro à un droit.'

La courbe est celle de la figure 35 ou de la figure 36 suivant que l'ordonnée minimuin. OA est négative

m ALGEBliE.

OU positive. Dans la première hypothèse, l'équation

a;*+pa;'+ç-0 (3)

a deux racines réelles, égaies et de signes contraires, OR', OR" ; dans la seconde, elle n'a aucune racine réelle. Dans l'hypothèse intermédiaire q ^0, elle aurait évidemment deux racines égales à zéro.

2° cas .- p < 0. ^ Alors la racine v/ — s ^^ 1* dérivée est réelle. Le facteur a:*-|- i ^st négatif, nul ou positif suivant queic est compris entre zéro et W — |-! égal à

y — ^ 7 ou plus grand que cette valeur. II en est de même

de la dérivée y', puisque le facteur ix est positif.

D'ailleurs pour x=\/ — ^, on trouve y = — yr~y'

Donc, X croissant de zéro à \/ — ^i i/ décroit de 5

X croissant de \/ — | à + oo, y croît de ~\t^—q\

La courbe étant symétrique par rapport à l'axe des y, il y a un maximum q de l'ordonnée, correspondant à a; ;^0,

et deux minima égaux à — ■{-■ —ç), correspondants aux

valeurs de l'abscisse x =±\/ — §■

Portons sur l'axe des y (fig. 37) la longueur Oâ= r/ : c'est le maximum.

Portons sur l'axe des x les deux segments OB, OB'

égaux à dry —5 ) et menons par leurs extrémités les

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ordonnées BC, B'C égales à — (y — SJ- ce sont les deux minima. Il est facile maintenant de tracer la forme e de la courbe représentée figure 37.

Quant au nombre des racines de l'équation (3) dans ce

deuxième cas, il y a lieu do faire (différentes hypothèses.

Si OA = 5 est positif, ^

suivant que 2 — -g est

positif ou négatif, c'està-dire suivant que BC est négatif ou positif, la courbe est placée, par rapport aux axes, commedansla figure 37 ou comme dans la figure 38 : il y a quatre racines, répondant aux points Ri, Rî, Ra, Rt, ou il n'y

Enfin, si q est négatif, la courbe est représentée figure 39, et il y a deux racines Ri, Ri.

aucune racine.