CHAPITRE VIII

70. — Nous allons étudier maintenant les fractions rationnelles du premier degré, c'est-à-dire les fractions dont le numôrateur et le dénominateur sont des binômes entiers du premier degré. La l'orme générale de ces fractions est :

^ '^a'x-\-l>'' Prenons d'abord un cas particulier, et soit

où K désigne une quantité positive.

Cette fonction a une valeur unique et déterminée, et déplus elle est continue pour toute valeur de ce, excepté pour ic=0.

Sa dérivée m' ^= = if)

est constamment négative. Donc la fonction est constamment décroissante entre les valeurs de la variable— co et — e(£ désignant une quantité positive aussi petite que l'on veut) et entre les valeurs -f s et -f oo.

Quand X tend vers — oo, y tend vers zéro par des valeurs négatives : c'est dire que dans la direction 0:6' (fig. 40) la courbe se rapproche indéfiniment de l'axe des X, dans l'angle x'Oy', mais n'atteint jamais la droite Ox',

ïï

Or, lorsqu'une droite se rapproche indéfiniment d'une branche infinie d'une courbe, on dit que cette droite est une asymptote de la courbe. Ainsi la courbe a l'axe des X comme asymptote.

a; croissant jusqu'à — s, y décroît jusqu'à — oo.

La branche de courbe MN qui en résulte s'approche donc indéfiniment aussi de l'axe des y dans ta direction Oy', et dans l'angle x'Oy'. Ainsi l'axe des y est encore asymptote à cette branche de fiu. 40.

courbe.

a; croissant de + e à + oo, j/ décroit de -f-eo à zéro. Il en résulte une autre branche PQ, située tout entière dans l'angle yOx, et ayant l'axe des y et celui des x pour asymptotes.

71. — Remarque I. — La dérivée y' décroît quand x croît de-:- oo à zéro, et croît quand ic croît de zéro à-j-co. Donc (n" 57) la branche MN tourne sa concavité vers les y négatifs, et la branche PQ vers les y positifs.

72, — Remarque IL — Si le numérateur de la formule (1) était négatif et égal à — K, toutes les ordonnées seraient simplement changées de signe. Il n'y aurait, pour obtenir la nouvelle courbe, qu'à faire tourner la précédente de 180 degrés autour de i'axe des x.

73, — Remarque IIL — La courbe que nous venons de construire porte le nom d'hyperbole. On peut définir en général l'hyperbole le lieu des points dont l'abscisse et l'ordonnée, par rapporta certains axes, ont un produit constant.