Arrivons maiiitenanl au cas général et faisons

Divisons le numérateur et le dénominateur par a', que nous supposons différent de zéro :

Kn posant -;= A, r,-

-C, nous écrirons

Aa^+B

el en faisant la division, ce qui donne le reste AC + B : , , AC + B

Posons enfin AC -]- ii ^ K, nous obtenons :

Celte fonction est continue, sauf pour ic = G. Prenons la dérivée ;

Pious supposerons, pour fixer les idée3,K positif. Alors la dérivée est constamment négative, et la fonction est constamment décroissante, sauf la discontinuité qu'elle

Q éprouve pour x = C.

~^ Pourconstruirelacourbe, nous remarquerons que y

X se compose de la quantité fixe A, augmentée de la

quantité variable 7,-

Fie il. x — L

Traçons donc (flg. 41) la

droite représentée par l'équation y = A: c'est une parai-

lèle DE à l'axe des x, dont l'ordonnée à l'origine est la longueur OH = A. L'ordonnée d'un point de la courbe est égale à l'ordonnée correspondante de la droite DE, augmentée

de la quantité j-,, que l'on peut appeler Vonlonnée

par rapport à la droite DE.

Cela posé, faisons tendre x vers — oo : l'ordonnée

relative à la droite DE, savoir py tend vers zéro par

des valeurs négatives. Il en résulte un arc infini ayant DE pour asymptote.

ment négative et croit indéfiniment en valeur absolue. Traçons la droite a; := C : c'est une parallèle FG à l'axe des y, qui coupe DE à une distance HI^^C, de l'axe des^. La branche de courbe MN correspondante à ia série des valeurs de x comprise entre zéro et G est tont entière comprise dans l'angle DIG, et a la droite FG aussi pour asymptote.

Faisons maintenant croître a; de C à + co. La quantité ■ p devient positive, et décroît de 4- ^^ ^ zéro.

II en résulte évidemment une branche de courbe PQ, située dans l'angle FIE, et ayant encore les droites FG, DE pour asymptotes.

Pour ie tracé de la courbe, on peut construire deux points dignes de remarque : ce sont ceux où elle coupe les deux axes. On trouve le point d'intersection T avec

l'axe des y en faisant a; = 0, ce qui donne y = A — p :

tel est le segment OT. On trouve le point d'intersection U avec l'axe des x en faisant y = 0, d'où

a; — C — V : lel est le segment OU.