La courbe que nous venons tic construire est
encore une hyperbole. En effet, son équation peut s'écrire :
Nous avons dit que y — A est l'ordonnée par rapport à la droite DE; de mêmeip — C est l'abscisse par rapport à la droite FG. Donc, en prenant ces deux droites comme axes, le produit de l'abscisse et de l'ordonnée d'un point quelconque de la courbe est égal à K. Il résulte que la courbe est une hyperbole (n" 73),
GHAPITRK IX
7G. — Nous passons à l'étude des fractions rationnelles dont le numérateur et le dénominateur sont des trinômes du second degré en x. La forme générale de ces fractions est :
ax^ -{-bx -\- c
^ a'x^~\-b'x-'rc'''
un seul dos coefficients a, a' pouvant être nul.
Ces fonctions ont une valeur unique et déterminée, et de plus sont continues, pour toute valeur de x, à l'exception de celles qui annulent le dénominateur. Enfin remarquons qu'à chaque valeur de y correspondent deux valeurs de x (qui peuvent être égales), ou il n'en correspond aucune ; car l'équation est du second degré en x, et a ses deux racines en x réelles ou imaginaires à la fois. Ainsi une parallèle à l'axe des y coupe en général la courbe en un point unique; une parallèle à Taxe des a; la coupe en deux points (qui peuvent être réunis en un seul), ou ne la rencontre pas.
77. Exemple I, — Nous ne considérerons que des exemples numériques, et d'abord un exemple où a' — zéro. Soit
2ic'-7iC+lI ,,,
y = ^^Tâ^- 0)
Effectuons la division du numérateur par le dénomi-
nateur : le quotient est 23; — 3, et le reste 5, On peut donc
Construisons d'abori! (fig. 42) le lieu représenté par Véqualion
C'est une droite AB(n°14),donfl'abscisse et l'ordonnée
if P
à l'origine sont ^ et
L'ordonnée de chaque point de la courbe, d'après l'équalion (2), se compose de l'ordonnée de la droite AB, augmentée de la quan-
tité
qu on
peut appeler Yordonnée à partir de la droite ^B. Lorsque x croît de — 00 à 2, cette ordonnée à partir
de AB, dont l'expression est de la forme ■■■ ^ ■ p étudiée
n° 74, décroît constamment de zéro à — co.
Si donc nous construisons la droite CD, parallèle à l'axe des y, et représentée par l'équation œ^2, il résulte de cette série de valeurs données à x une branche infinie EF de courbe ayant AB et CD pour asymptotes, et située dans l'angle AIC (I étant le point de rencontre des asymptotes).
Ensuite, x croissant de 2 à-}- 00, ■ __,, décroît de
i'infmi à zéro: il en résulte une seconde branche
infinie GH, ayant encore pour asymptotes les droites CD, AB, et située dans l'angle DIB.
La forme de la courbe prouve que y a un maximum et un minimum relatifs. Pourles obtenir, formons la dérivée de la fonction, mise sous la forme (2); nous trouvons :
Le dénominateur de cette fonction étant constamment positif, y' est de mÊme signe que son numérateur. Or ce numérateur est un trinôme du second degré en x, dont le terme en x^ a un coefficient positif : il est donc positif ou négatif suivant que x a une valeur extérieure ou intérieure aux racines du trinôme. On trouve ces racines en faisant
(«-2)'=| Elles sont donc;
Si donc a; varie de—ookxi,y est croissant. Si x varie de Xi à Xa, y est décroissant, sauf la discontinuité, c'està-dire le passage de — ooà-[-'^qiise produit quand x passe par la valeur 2, comprise entre Xi et x^. Enfin, si œ croit de iCa à -|- oo, y est croissant.
Il y a donc un maasimum et un minimum relatifs, qui correspondent aux valeurs x, et Xt de x.
Pour trouver les valeurs correspondantes yi et ya de y,
on peut transformer la formule (2) dans la suivante : j, = .l + 2(»-2) + j:5-^-
Va 2
/5 5 Or a!, - 2 = - y 5' j;rr2 '
Donc ï/.^l-4i/î=l-2v'i0 J et de même î/j = 1 + 1 1/^ = 1 + 2 \/lO ]
Nous connaissons maintenant les coordonnées des points P, Q correspondants au maximum et au minimum relatifs de l'ordonnée.
Enfin on peut construire les points de rencontre avecles axes. Le point R de rencontre avec l'axe des y s'obtient en faisant x^^O. Son ordonnée OR, d'après l'équation (1),
est égale à — ^- Quant aux points de rencontre
avec l'axe des x, on les trouve en faisant y=0, ou 2 ic^ — 1x-\-ii=:0. Mais les racines de cette équation sont imaginaires; ainsi l'axe des x ne rencontre pas la courbe.
78. — Hemarque 1. — La dérivée / est décroissante quand X croit de — ooà2; elle est croissante quand a; croit de 2 à + oo. lien résulte que la branche EPF tourne sa concavité vers les y négatifs, et la branche GQH vers les y positifs.
79. — Remarqoe h. — La courbe que nous \ d'obtenir est encore une hyperbole. Car soit M un quelconque de ses points, MS son abscisse, MT son ordonnée.
U, V les points où ces droites rencontrent respectivement les asymptotes DC, AB. UM est égal kx — SU, c'est-à-dire à X — 2; VM est égal à l'ordonnée de la courbe, moins l'ordonnée de la droite AB, e'est-à-dire à y — (2aT — 3). Or, d'après l'équation (2),
