MV

Mais, si l'on mène MU' parallèle à BA, jusqu'à sa rencontre avec DF, le rapport 7^==- est égal à une constante G;, remplaçant MU par C X MU', on voit que CXMU' = A.

Donc

MU'XMV^5,

c'est-à-dire qu'en prenant pour axes des coordonnées AB et CD, le produit de l'ordonnée et del'abscisse d'un point de la courbe est constant.

80. — Autre méthode. — On peut aussi discuter la fonction et construire la courbe sans se servir de la dérivée. Résolvons en efîet l'équation (1) par rapport kx. Chassant le dénominateur, et ordonnant :

2ie^ — (;/-{- 7)a; +2;; -l-H^ O; (7)

a>=ï±l±MEîïEË.. (8)

Le trinôme en y placé sous le radic^il a ses racines réelles. Comme son premier ternie est positif, il est positif pour les valeurs de y extérieures aux racines yi et j/a de ce trinôme, négatif pour les valeurs intérieures aux racines. Ainsi pour toute valeur de y plus petite que yi ou plus grande que y-i, x a deux valeurs réelles; pour

58 ALGÈBIIE,

toute valeur de y comprise entre yi et j/s, x n'a que des valeurs imaginaires. D'ailleurs ces valeurs yi, yi, racines de l'équalion

sont égales à 1 ~ y'JÔ =^ 1 zp \/10 X4 = 1 =p2 \/Î0. Ce sont précisément les valeurs (6).

Si l'on mène parallèlement à l'axe des x les droites Yi, Yt à des distances de cet axe égales à ^i, y^, une parallèle menée au même axe rencontre la courbe en deux points ou ne la rencontre pas, suivant qu'elle est intérieure ou extérieure à ces deux droites. Ainsi j/i et p^ sont un maximum et un minimum relatifs.

On trouve les valeurs de x correspondantes à ces deux valeurs de y en mettant successivement yi et y^ à la place de y dans la formule (8). Le radical s'annule, et l'on trouve :

Ce sont les valeurs (5). Nous avons ainsi les coordonnées des points P et Q correspondants au maximum et au minimum.

Il n'y a d'ailleurs pas d'autre maximum ni d'autre minimum, puisque toute parallèle à l'axe des x en dehors des droites Yi et Ys rencontre la courbe en deux points, et en deux points seulement. On voit donc que x croissant de — ookxi, y croit de — ■ 00 à yt, ce qui donne l'arc EP; a! croissant àexi à 2, !/ décroit de j/i à — co, ce qui donne l'arc PF; x croissant de 2 à x^, y décroit de -|-" °° * V*' ce qui donne la branche GQ; 3; croissant de iCa à -j-^'®) y croît de ^g à +00, ce qui donne la branche QII.

Passons à un exemple où a' n'est pas nul.