Exemple n. — Soit

$x^-\-i'ix — i ....

y— x'^ix + ^ ' ^^

yGoosle

FRACTION RATIOKfiELLE DU SECOND DEGRÉ. 59

En divisant le mimérateur par !e dénominateur, on trouve pour quotient 2, et pour reste 4a^— 5, en sorte qu'on peut écrire :

valeur que nous représenterons par

Traçons d'abord (fig. 43) la droite représentée par l'équation y = 2 : c'est une parallèle AB à l'axe des x, qui

X' Xi

Fie. 43.

en est distante de 2. L'ordonnée de la courbe, pour chaque valeur de x, est égale à l'ordonnée de AB augmentée de la quantité z, que nous appellerons l'ordonnée par rapport à AB. Il suffit d'étudier les variations de z. Les valeurs de a; importantes à considérer sont celles qui correspondent à un maximum ou à un minimum, et celles qui rendent y infini. On trouve les premières en

t la dérivée à zéro. Or la dérivée, aussi Ijien de z que de^, est (n° 43):

Les valeurs qui l'annulent sont celles qui annulent le numérateur, pourvu qu'elles n'annulent pas aussi le dénominateur. Ces valeurs, qui précisément n'annulent pas le dénominateur, sont :

La dérivée est du signe de son numérateur, puisque le dénominateur est un carré. Le numérateur, ayant le coefficient du terme en ic^ négatif, est négatif ou positif suivant que at est extérieur ou intérieur aux racines. Donc, sauf les discontinuités pouvant résulter de l'évanouissement du dénominateur, la fonction est décroissante de — oo à Xi, croissante de x^ à «s, décroissante de iCa à-j-co.

Cherchons maintenant les valeurs qui annulent le dénominateur. Elles sont:

Puisqu'elles n'annulent pas le numérateur, elles font prendre à 2 des valeurs infinies.

Rangeons par ordre de grandeur croissante les raleurs (6) et (7), On voit aisément que cet ordre est :

Portons sur la droite ÂB, à partir de son point d'inter-

FRACTION RATIONNELLE DU SECONEl DEGRE.

section I avec l'axe des !/, les segments lX' = a;', IXi=:iri; IX" =9!", IXi^a^s. Ce sont les abscisses des ordonnées infinies, et de celles qui sont minimum et maximum. Par X' et X" menons les parallèles CD, EF à l'axe des y. Cela fait, nous commencerons par chercher la valeur que prend z pour une valeur infinie de x. Le numérateui et le dénominateur de z sont alors infinis, et l'on n'aperçoit pas immédiatement la limite vers laquelle tend leur rapport. Mais divisons par x le numérateur et le dénominateur. Nous trouvons :

zéro. Donc le numérateur tend vers 4; suivant que x est égal à -j- o», ou à — co, le dénominateur tend vers 4" =^ ou — co, et 2 tend vers zéro par des valeurs positives ou négatives.

Maintenant il est aisé de tracer la courbe, w croissant de — ooàaîi — s (s désigne une quantité positive très petite), 2 décroît constamment et jusqu'à une valeur négative très grande : il en résulte l'arc infini MN, situé dans l'angle AX'D, et ayant les droites AB, CD comme asymptotes.

Ensuite œ prenant la valeur ic'-j-e, le dénominateur change de signe, puisque x, d'extérieur aux racines du dénominateur, devient intérieur; œ croissant de x'-{-e à Xi, 2 décroit d'une valeur positive très grande jusqu'à un minimum XjQ, puis x croissant jusqu'àiï" — s, z croît jusqu'à une valeur positive très grande : il en résulte l'arc infini PQR, qui a CD et EF pour asymptotes.

œ prenant la valeur a;" + s, z change de signe, x croissant de a;"-|-£ jusqu'à Xs, 2 croît d'une valeur négative très grande à un maximum XsT, et enfin, x croissant jusqu'à 4-^, z décroît jusqu'à zéro par des valeurs posi- POBCHON. — Compl. alg. cl gùom. A

tives. Il en résulte l'arc infini STU, qui a pour asymptotes EF et AB.

Reste à calculer l'ordonnée viinimutn X,Q et l'ordonnée maxivium XgT, en substituant dans (4) Xi et Xi successivement à X. Nous omettrons ce calcul numérique. Hous ferons seulement cette remarque que le minimum relatif doit être, à priori, plus grand que \e' maximum, puisqu'une parallèle à l'axe des ce ne peut rencontrer la courbe en plus de deux points.

82. ^ArrRE méthode. — On peut d'ailleurs se dispenser du calcul de la dérivée en opérant de la manière suivante.

Résolvons l'équation (4) par rapport à x. Nous trouvons, en cliassant le dénominateur ;

zx' + i{z — i}x + ^Z'^5 = 0, (9)

d'où

z et en développant :

Pour que x ait des valeurs réelles, il faut que ce trinôme en z, placé sous le radical, soit positif; et comme le coefficient de z^ est positif, que z soit extérieur aux racines de ce trinôme, qui sont :

13— y/îâr \

Si donc on mène à l'axe des x les parallùles Z,, Z, à des distances de la droite AB égales à Si et à Zi, une parallèle menée à l'axe des x rencontre la courbe en deux points ou ne la rencontre pas, suivant qu'elle est intérieure ou extérieure à ces deux droites. Zî est donc un minimum, et Zi un maximum.

Pour trouver les valeurs correspondantes de x, il suffît

FRACTIOH RATIOKMELLE DU SECOND DEGRÉ. 63

de substituer dans (4) Zi et 23 à z. Le radical s'annule, et l'on trouve :

Par des simplifications faciles, ces valeurs se réduisent aux formules (6) trouvées par la première méthode. Nçus connaissons donc maintenant les coordonnées des points Q,T, qui correspondent naminimumet au maarimMm relatifs, et il n'y a pas d'autre minimum ni d'autre maximum.

Maintenant, puisque z est nul pour x ;=— 00 et prend des valeurs négatives très petites en valeur absolue lorsque x croit, s commence par être décroissant. Puisque le seul minimum qu'il ait est Zi, quantité positive, il faut qu'il décroisse jusqu'à — 00, valeur vers laquelle il ne peut tendre que quand œtend vers la plus petite racine «' du dénominateur; et cette considération suffirait pour montrer que le dénominateur a une racine réelle plus petite que Xi. Kous obtenons ainsi l'arc MN.

Lorsque x devient un peu plus grand que x', z change de signe et devient égal à-f-<^; accroissant, 2 décroît jusqu'au minimum Zi représenté par le point Q, puis croit. Puisqu'il n'a pas de maximum supérieur à z,, il croît nécessairement jusqu'à +00, valeur qu'il atteint lorsque le dénominateur tend de nouveau vers zéro, et nous pouvons en conclure à priori que le dénominateur a une seconde racine x" comprise entre Xi et X3. Nous obtenons ainsi l'are PQR.

Lorsque x devient un peu plus grand que x", z change désigne, devient égal à — ot>, croit jusqu'à son maximum représenté par le point ï, et enfin décroît jusqu'à zéro par des valeurs positives : d'où l'arc STU.

83. — Remarque. — Toutes les fois que la dérivée de s a deux racines réelles distinctes, et que le dénominateur de 2 a aussi deux racines distinctes entre elles et de celles de la dérivée, la courbe, sauf la place des asymptotes.

présente la forme représentée figure W, ou une forme symétrique par rapport à l'axe des x, ou une forme symétrique de l'une ou de l'autre par rapport à l'axe des y.