Exemple III. — Soit

^ — 'Sx^ — '^x-^f ou, en transformant par la division, comme dans l'exemple précédent ;

après avoir posé :

^' Sx^—'2x-\-i'

z est l'ordonnée par rapport à la parallèle à l'axe des x \ représentée par l'équation y— r,' soit AB (flg 44).

X; ,-— "TJ

Ji'

Prenons la dérivée de s :

, 4 31' — aa; + l— (6a; — 2)(i+i:

^~ 3 (3ai"— 23! + t)'

ou, en réduisant :

(3aj"— 2:»4i)'

FRACTION RATIONNELLE DU SECOND DEGRÉ. (i5

Les valeurs qui annulent la dérivée sont celles qui annulent le numérateur, savoir:

Xi = — i—sl^ \

D'ailleurs le dénominateur de z n'a pas de racines réelles ; il en résulte que la fonction z est continue pour toute valeur dea;-

z' est toujours du signe de son numérateur, savoir positif ou négatif suivant que x est extérieur ou intérieur à a^i et à Xî. Ainsi z est croissant, puis décroissant, puis croissant de nouveau, suivant que a^ est compris entre — eo etic,, entre Xi eta^a, entre x^ et-|-oo. Les valeurs iCi et ara correspondent à un maximum et à un minimum.

Cherchons les valeurs que prend z quand x est infini. En divisant son numérateur et son dénominateur par x, nous trouvons :

Pour des valeurs infinies de x, le numérateur tend vers — s, le dénominateur est égal à +oo ou à — oo suivant que la valeur infinie de x est positive ou négative. Donc 3 tend vers zéro par des valeurs négatives ou positives suivant que x tend vers -|-co ou vers — oo.

La courbe est maintenant facile à construire. Portons sur AB, à partir de son intersection I avec l'axe des y, les segments IXj = Xi, IXj = iCi : ce sont les abscisses correspondantes au maximum et au minimum.

X croissant de — oo à Xi, z croît de zéro à un maximum XjQ, ce qui donne l'arc infini MQ, dont AB est asymptote.

X croissant de Xi à x^, z décroît jusqu'à un minimum XîT, ce qui donne l'arc QT.

Enfin, iB croissant de a^s à-f-oo, 2 croit jusqu'à zéro, ce qui donne l'arc infini TU, dont AB est asymptote.

H reste à calculer l'ordonnée maximum X,U et l'ordonnée minimum XjT, en substituant dans l'équation (3) iPi eliCs à œ. Nous omettrons ce calcul numérique. Nous observerons seulement que le maximum de 2 est nécessairement positif, le minimum nécessairement négatif, et comme la courbe a pour asymptote AB du côté des X positifs aussi bien que du côté des x négatifs, il en résulte que le maximum et le minimum sont absolus.

85. — Autre méthode. — Résolvons l'équation (3) par rapport à x :

Pour que x soit réel, il faut que le trinôme placé sous le radical soit positif, et comme le coefficient de 2* est négatif, il faut que 2 soit compris entre les racines de ce trinôme. On voit k priori que ces racines doivent être réelles, sans quoi x serait imaginaire quel que soit s, ce qui est absurde puisque dans l'équation (3) on peut donner à x autant de valeurs réelles que l'on veut.

Ces racines sont ;

Si nous traçons des parallèles Zj, Zs à l'axe des x à des distances de AB égales à Zj et à 22, une parallèle à l'axe des X rencontre la courbe en deux points ou ne la rencontre pas suivant qu'elle est intérieure ou extérieure à ces deux droites, z, est donc un maximum absolu et Zs un mtm'wiïH» absolu de z, et il n'y a pas d'autre maximum ni d'autre minimum, puisqu'une parallèle à l'axe des a; ne peut rencontrer la courbe en plus de deux points.

Pour avoir les valeurs de x correspondantes au maximum et au minimum, il n'y a qu'à substituer à 2 les

valeurs 2, ct^^ dans l'équation (0). Le radical s'annule, et l'on trouve :

Ces formules doivent nécessairement se réduire aux Tormules (5), et nous connaissons maintenant les coordonnées des points Q, T correspondants au maximum et au minimum.

Sachant que la courbe a pour asymptote AB, que son ordonnée 2 est positive pour x^ — ce, négative pour ic = + co, que la courbe est comprise entre les droites ZiCtZa avec un maximum unique de l'ordonnée en Q sur Zi,et un minimum unique en T sur Zj, il est facile de la tracer.

86. -- REiiARQtË. — Toutes les fois que la dérivée a deux racines réelles distinctes et que le dénominateur de s n'a aucune racine réelle, telle est toujours la forme de la courbe. Seulement l'ordonnée z peut être négative pour ic = — oo. et positive pour a; ^; -|- oo, ce qui donne à la courbe une disposition inverse relativement à son asymptote.

- Exemple IV. — Soit

Nous transformons cette expression par la division en la suivante :

en posant :

Il suffit d'étudier l'ordonnée s relative à la droite AB

représentée par l'équation j/ ==; 3, et que nous commençons par construire {fîg. 45).

îl

Prenons !a dérivée :

x^-fg^ — 4— (23; + l)(a;-l)

Le numérateur de cette dérivée, étant égal à — (x — iy — 2, est négatif quel que soit x, et il en est de même de z'. Donc la fonction s est constamment décroissante, saufles discontinuités qu'elle éprouve pour les valeurs de x qui annulent son dénominateur, et qui sont :