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-t + fi-ï

A partir du point 1 oiiAB rencontre l'axe des. y, portons sur AB les segments IX'^:^*', IX" = a;" : ce sont les abscisses pour lesquelles z est infini. Menons par X' et par X" les parallèles CD, EF à l'axe des y.

FRACTIOM RATIOHNEILE DU SECOND DEGRÉ. 69

On voit, comme dans les exemples précédenis, que os tendant vers l'infini, z lend vers zéro par des valeurs négatives ou positives suivant que icest positif ou négatif.

Cela posé, puisque z est toujours décroissant, quand x croit de ^ oo à a;', 2 décroit de zéro à — oo, ce qui donne la branche infinie MN, située dans l'angle AX'D, et ayant AB et CD comme asymptotes.

Quand X croit de x' à -x", z décroît de + oo à — co, ce qui donne la branche infinie PR, située entre les droites CD, EF, qui lui sont asymptotes.

Enfin, quand x croit de x" k -\- oo, z décroît de -|- oo à zéro, ce qui donne la branche infinie SU, située dans l'angle EX"B, et ayant les droites EF, AB comme asymptotes.

88. — Autre méthode. — Résolvons par rapport à x l'équation (3):

Pour que les valeurs de x données par cette formule soient réelles, il faut que le trinôme placé sous le radical soit positif. Mais, ayant ses racines imaginaires, il est toujours de même signe que son premier terme, c'est-à-dire positif. Donc toute parallèle à l'axe des x rencontre la courbe en deux points distincts, et il n'y a ni maccimum ni minimum de z.

Ce raisonnement suffit pour démontrer à priori que le dénominateur a deux racines distinctes, puisque z doit être infini pour deux valeurs de X. Le tracé de ta courbe s'ensuit comme plus haut.

89, — Rejiahqoe I. — Toutes les fois que la dérivée de z ne s'annule pas, et que le dénominateur de z s'annule pour deux valeurs distinctes de x, la courbe présente toujours la forme que nous venons de rencontrer, sauf qu'elle peut être placée différemment par rapport aux axes et à ses asymptotes.

90. — Remarque II. — Nous venons d'étudier, sur des exemples, la fonction

" ^^aV4- b'x-j-c'

i° Dans le cas où la dérivée s'annule pour deux valeurs de ic distinctes, et où le dénonainateur s'annule aussi pour deux valeurs distinctes des premières; 2° dans le cas où la dérivée s'annule pour deux valeurs distinctes, et où le dénominateur ne s'annule pas; 3° dans le cas où la dérivée ne s'annule pas, et où le dénominateur a deux racines distinctes. Sauf des cas singuliers, ce sont les seuls cas possibles. Car, si le dénominateur de z ne s'annule pas, s ne devient jamais infini, il a donc en général un maximum et un minimum, et sa dérivée s'annule deux fois.

Voici maintenant on cas singulier.