Exemple V.— Soit
H = — 24--3 — sr — r
ce que nous écrirons en posant :
iB + 3
hl
zest l'ordonnée par rapport à la parallèle AD à l'axe des X, représentée par l'équation ^ = — 2 (flg. 46).
Remarquons ici que le dénominateur de 2 est le carré de ic — 1. Le dénominateur de z s'annule, et z devient infini, pour l'unique valeur x^i, que nous désignerons par x'. Prenons la dérivée de z après avoir écrit cette fonction sous la forme
'-("-if
On trouve :
, (j! — !)■ — a(j-l)(a; + 3) '- ÇTTI)!
Le numérateur et le dénominateur sont di par X — l. On trouve, réductions faites :
aj
Zl
Cette dérivée change de signe en passant par zéro pour a;=^ — 7; elle change de signe en passant par l'infini pour aî = l.
Portons sur AB, à partir de l'axe des |/, les segments IXi= — 7, IX' = 'l; menons par le point X' la parallèle CD à l'axe des ;/.
Maintenant faisons varier x. Nous observons que pour X très grand, % est très petit, positif ou négatif, suivant que la valeur infinie de x est positive ou négative. Lorsque m croît de — ex? à — 1, z' a son numérateur positif, son dénominateur négatif, et est par conséquent négatif. Donc 3 décroît de zéro à un minimum XiP,
qu'on trouve égal à — Té.^^ faisant.*— — 7 dans la
formule (4) : il en résulte l'arc MP ayant AB pour asymptote.
a; croissant de — 7 jusqu'à une valeur très voisine de \,\ — e, z' devient positif, puisque son numérateur change de signe, et % croit jusqu'à une valeur positive
très grande, ce qui donne l'arc PN ayant CD pour asymptote,
œ prenant une valeur un peu plus grande que 1, i -[-t, 2 conserve le même signe, puisque le dénominateur reste positif et égal à s^ Mais la dérivée change de signe, puisque son dénominateur devient + ^' au lieu de — E^ La dérivée étant maintenant négative, z décroit constamment et tend vers zéro quand x tend vers+'^" d'où l'arc infini SU, situé dans l'angle CX'U, et ayant CD et AB comme asymptotes.
92. — Autre méthode.— Résolvons par rapport à x l'équation (3) :
»=!i+i±^iii+l. (6)
Pour que x soit réel, il faut que la quantité placée sous le radical soit positive:
La valeur — rr- est un minimum absolu de z.
