Exemple VIIL ~ Soiî enfin

; il admet ■oo à 1, ce

x^ — ^iC-[-l

Le dénominateur de z est un carré parfai deux racines égales à i. Donc x croissant de ■ dénominateurdécroît de -(- co à zéro, et x croissant de là-j-co, le dénominateur croit de zéro à -f- =«■ I' s'ensuit que ^ z croît de zéro à -f- oo, puis décroit de + '^à zéro, ce qui donne deux branches de courbe W2i, PQ (flg. 49), admettant pour asymptotes la i'ig- «■

droileAB, ella parallèle

à l'axe des y menée à la distance 1. Les deux branches de courbe sont symétriques par rapport à cette dernière -droite.

76 AMIÈIIRE,

97. — Remarque. — Toutes les fois que le numérateur dç 2 est une constante, ce qui arrive évidemment quand les coefileients des termes en ic* et en x sont proportionnels dans le numérateur et le dénominateur de y, la courbe présente l'un des trois derniers types suivant que le dénominateur a deux racines imaginaires, deux racines réelles et inégales, ou deux racines égales.

Nous avons examiné toutes les formes possibles qu'offre la courbe représentative de la fonction rationnelle du second degré.

98. — Classilication des fonctions rationnelles du second dejré. — On peut prendre pour base de la classification de ces fonctions le calcul suivant.

Soit, en général :

ax^ -\-bx~\-c ^ a'x^-\-b'x-\-c''

Résolvons cette équation par rapport à x. Nous trouvons d'abord, en chassant le dénominateur et ordonnant suivant les puissances décroissantes de x'' :

(aV — fl) a;^ -j- {b'y -~b)x-\-c'y — c==ù, (2)

~{b'y — b)±\J(b'y~by~k{a'y — a){c'y-c) ,„.

La quantité sous le radical, étant développée, est un trinôme du second degré en y, que nous représenterons par ay^ + ^y -\- ■(,''■,'§, y étant des constantes qui se forment au moyen des coefficients a, b, c, a', b',.c'.

La condition de réalité des valeurs de x données par la formule (8) est :

Il y a trois cas à distinguer.

1" cas: a > 0. Ce cas se partage lui-même en trois. Si p^ — 4aï est positif, l'inégalité (4) est vérifiée pour les valeurs de y extérieures aux racines y', y" du trinôine (4).

FliACTION RATIONiNELLE DU SECOND DEGRÉ. 77

Alors y' et y"- sont en général un minimum et un maximum relatifs.

Si P' — iay est négatif, l'inégalité est vérifiée pour toute valeur de ^ ; il n'y a ni maximum ni minimum.

Si pa — 4 „^ ggt nul, ii en est encore de même. Toutefois le trinôme (4) est alors un carré parfait, et les valeurs de X données par la formule (3) sont rationnelles, et chacune est une fonction rationnelle du premier degré en y. On remarque de plus que l'une doit se réduire à une constante; car autrement on tirerait de l'équation deux valeurs rationnelles de y en fonction de x, ce qui est contradictoire avec l'équation (1).

2" cas ; a<0. Ce cas se-partage en trois comme le précédent. Si (3^ -- 4 «Y est positif, l'inégalité (4) est vérifiée par lés valeurs de x intérieures aux racines y', y" du trinôme. L'une en général est un minimum, l'autre un maximum absolu.

Si l'on suppose P' — 4 ay négatif, l'inégalité (4) n'est vérifiée pour aucune valeur de y, ce qui ne peut arriver; car, si l'on doiine à x une valeur réelle quelconque dans l'équation (1), il en résulte une valeur réelle correspondante pour y, et réciproquement la valeur de x correspond à la valeur dey.

Ainsi a et {3' — 4aY ne peuvent être négatifs ensemble.

Enfin, si |3* — 4 a^ est nul, le trinôme (4) est de la forme a (y — y'y, y' désignant une quantité réelle. Il ne peut pas être positiff mais il est nul pour une seule valeur, savoir y', donnée à y. Puisque y ne peut recevoir que cette valeur, c'est que la fraction rationnelle qui figure dans l'équation (1) est constamment égale à y', quel que soit x. En d'autres termes, l'équation (2) est vérifiée quel que soit x quand on y fait y = y'. Il faut pour cela que le coefficient de x^, celui de x et le terme indépendant de x soient nuls séparément, sans quoi l'équation en x n'aurait que deux ou qu'une racine suivant qu'elle serait du second degré ou se réduirait au premier. On a donc :

On voit qu'alors le numérateur de la fraction (1) n'est autre que le produit du dénominateur par y' :

^ a'x^ -f" ^'"^ + *^' ce qui réduit effectivement y k \à constante y\ quel que soit x.

Z' cas : a =^0. L'inégalité (4) se réduit alors à

d'où, en divisant par [3, suivant que [3 est positif ou négatif:

ce qui fait en général soit un miwîmMH), soit anmaxivium absolu.

99. — Remarque. — Après avoir trouvé, d'après ces raisonnements, un maximum ou un minimum, il faut trouver ia valeur correspondante de x en remplaçant y par ce maximum ou ce minimum dans la formule (3), dont le radical disparaît par cette substitution. Mais, s'il arrive que la valeur correspondante de x soit infinie, le maximum ou le minimum n'existe pas; car, d'après la déflnilion, un maximum ou un minimum ne peut correspondre qu'à une valeur Unie et déterminée de x-