PROBLÈMES SUR LA LIGNE DRO[TE

-100. — Équation générale des droites passant par un point donné. — Soit x', y' les coordonnées d'uti point donné. L'équation

y — y'=ni{x — x'), (1)

dans iaqueRe m désigne une constante quelconque, représente une droite passant par ce point, puisqu'elle est du premier degré et qu'elle est vérifiée quand on y fait x = x\y = y'.

Réciproquement, toute droite passant par ce point est représentée par une équation de cette forme. Car il suffit, pour déterminer géométriquement la droite, de donner un second point x", y", par lequel elle passe ; et pour déterminer m de manière que l'équation (1) représente la droite passant par les deux points, il suffit de poser :

y" ~ y' = m(x" -x'), d'où

Ainsi l'équation (1) est l'équation générale des droites qui passent par le point x', y'.

101. — Équation de la droite qui passe par deux points donnés. — D'après ce qui précède, l'équation cherchée est l'équation (1), dans laquelle on donne à m la valeur (2). On trouve donc :

102, — Intersection de deux droites. — Pour trouver les coordonnées du point d'Intersection de deux droites données par leurs équations :

ax -ir fjy + c = 0, (4)

fl'ic-|-6'!/ + c' = 0, (5)

il suffit de chercher les valeurs de a; et de y qui satisfont à la fois à ces deux équations, en d'autres termes de résoudre le système des deux équations. On connaît les formules

bc' — cb' ca' — ac'

ab' — ba' ' air — ba'

Si le dénominateur ab' — ba' n'est pas nul, ces valeurs sont finies et déterminées, et les deux droites se coupent en un point unique et déterminé '.

Si le dénominateur commun est nul, les numérateurs sont différents de zéro ensemble ou nuls ensemble. Le premier cas est celui oii les coefficients des inconnues dans (4) et (5) sont proportionnels entre eux et non aux termes connus ; ces équations sont incompatibles. Ce résultat s'explique géométriquement, puisque les coefficients angulaires — j, — r; sont égaux, et les ordonnées

à l'origine — r» — tî '^^ '^ sont pas; les droites sont

par conséquent parallèles et n'ont aucun point commun.

Le second cas est celui où les coefficients des inconnues sont proportionnels entre eux et aux termes connus : il y a indétermination. Alors en effet les coefficients angulaires sont égaux, ainsi que les ordonnées à l'origine: les deux droites se confondent en une seule, et un point quelconque pris sur cette droite unique doit être considéré comme commun.

ÎÙ'S. — Équation générale des droites passant par le point d'intersection de deux droites données. — Soit