PROBLÈMKS SUR LA LIGNE DROITE

En particulier, si le point M est sur la droite s, 3 est nul, et cette équation se réduit à

X cos oi.-\-y sin a — p =^ 0. (20)

Puisqu'elle exprime alors la condition nécessaire et suffisante pour que le point dont les coordonnées sont x et y soit sur la droite z, elle est l'équation même de cette droite.

107. — Nous venons donc de démontrer de nouveau que toute droite est représentée par une équation du premier degré. Mais l'équation étant mise sous la forme (20), qu'on appelle la forme canonique, les coefficients de ic, de !/et le terme connu ont une signification remarquable, puisque les deux premiers sont le cosinus et le sinus de l'angle que fait avec les axes la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la droite, et le dernier est la longueur de cette perpendiculaire changée de signe.

108. — Une autre propriété de l'équation (20), d'après l'équation (19), est la suivante :

la distance d'un point quelconque du plan à une droite est, en valeur absolue, la valeur que prend le premier membre de Vëquation canonique de la droite, quand on y substitue les coordonnées du point.

109. — Soit maintenant l'équation lî'une droite mise sous la forme

ax^by-j-c^O, (21)

où a, b, c désignent des quantités quelconques. Soit (20) l'équation canonique de la même droite. L'équation (21) et l'équation (20) représentant la même droite doivent avoir leurs coeflîcienls proportionnels, puisqu'on doit déduire de l'une comme de l'autre le môme coefficient angulaire et la même ordonnée à l'origine. D'où

Ij ALGÈBRE.

Of, d"après un théorème connu sur les proportions, cos g sin g \/sin^ a -|- sin' " -1

iv/'^M^ ~±v'^Hi;^ '^~±v/«M^

Puisque p est une ([uantîté positive, on doit prendre devant le radical le signe "|- ou !e signe — suivant que c est négatif ou positif. Les formules (23) font donc connaître les angles que fait avec les axes la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la droite (21), ainsi que la distance de cette droite à Torigine.

Quant à la distance d'un point quelconque x, ^àla droite, elle est donnée par la formule (10), où cos a, sin se et — p doivent être remplacés par leurs valeurs fournies par les formules (23), savoir :

MO, — Angle de deux droites. — Si les équations des deux droites sont mises sous forme canonique :

X cos a 4- 1/ sin o; — p = 0, X cos a.'-\~y sma' — p -^ 0,

l'angle des deux droites est l'angle des perpendiculaires abaissées de l'origine sur chacune d'elles, c'est-à-dire

Si les équations sont données sous les formes (4), (5), désignons par V l'angle des perpendiculaires abaissées de l'origine sur les deux droites, et, pour préciser, l'angle direct dont il faut faire tourner la seconde perpendiculaire pour l'amener sur la première. Cet angle est encore « — a', el c'est aussi celui des deux droites. Or

cos V = cos a cos h' -f- sin a sin «,

PiiOBNRjIES SUR LA L[C:(E DROITE. 87

et, d'après les formules (â3j,

,, aa'-4-bb' ,t,

cosV — ,- - ■—; - - (2o)

Le signe qu'il faut prendre devant chacun des deux radicaux <Ja°--\-b^, \/a'^-\-b'^ est, comme on l'a déjà dît, le signe opposé respectivement à celui de c et de c'.

Au reste, si l'oti n'insiste pas sur la détermination de ces signes, on peut dire que les droites forment en général deux angles, l'un aigu, l'autre obtus, dont les cosinus sont égaux et de signes contraires. Ces cosinus sont donnés l'un et l'autre par la formule (25).

m. — COROLLAmE. — La condition pour que les deux droites soient rectangulaires est que cos V soit nul, c'està-dire :

aa' + W^O. (26)

li'2. — Autre expression de l'angle de deux droites. Clierchons la tangente dé l'angle des deux droites. En appelant p et p' les angles qu'elles forment avec l'axe des X, et V l'angle direct dont il faut faire tourner la seconde pour l'amener dans la direction de la première, on a :

'"" * "IH-lailglSlangP' Or les tangentes des angles p et P' sont les coefficients angulaires m et m' des droites, d'où

,.„gV = i^. (27)

Sous cette forme on voit que la condition pour que V soit nul, c'est-à-dire pour que les droites soient parallèles, est m — m'=^ 0, proposition évidente d'ailleurs. La condition pour que les droites soient rectangulaires est que tang V soit infinie, et par suite

yGoosle

Si l'on écrit ~r; — n à la P'^ce de m et de m', cette condition prend la forme (26).

113. — Coordonnées d'un point situé sur une droite donnée. ^ Soit une droite z'z (fig. 52) déterminée par les coordonnées xo, ye d'an de ses points, A, et par l'angle ç que fait avec l'axe des x la direction z'z- Soit M un quelconque des points de la droite, X et y ses coordonnées. Les projections de AM sur l'axe FiG, 62. des X et sur l'axe des y sont

respectivement, en grandeur et en signe. x—Xo, y — yc, d'où, en désignant la valeur algébrique du segment AM par l :

X — Xû^=l cos <f, y — ■ ya^=i sin ç,

et par suite :

x~x^-\-lcosif, y = y<i-\-l sin ip. (20)

En éliminant / entre les équations (29), on aurait l'équation de la droite; mais, si l'on donne à ( successivement toutes les valeurs de — oo à -j-oo, ces équations fournissent les coordonnées de tous les points de la droite. Les équations (18) prises simultanément sont souvent plus utiles que l'équation même de la droite.