CHAPITRE XI

EQUATION DU CERCLE

\U. — Distance de deux points. — Soit deux points M', M" donnés par leurs coordonnées rectangulaires x', y' pour le premier, x'', y" pour le second. Traçons ces coordonnées OP', OP", P'M', P"M" (fig. 53) et menons la parallèle M'Q à l'axe des x jusqu'à sa renconlre en Q avec P"M". Les segments M'Q, QM" sont égaux en valeur absolue à x" — x', y"~'y'- D'ailleurs le triangle rectangle M'M"Q donne la relation

d'où

M'M" =-M'Q +QM"

W'M" =ix"-xr']-{y"--yr- (I)

Telle est la formule qui exprime le carré de la distance de deux points.

115. — Équation du cercle. — Soit un cercle (fig. 54) dont le centre a pour coordonnées a et p, et dont le rayon OM est égal à r; soit x, y les coordonnées d'un'

90 AT.GF.IiRE,

quelconque de ses points M. Pour exprimer que le pointM est sur ce cercle, il suffit d'écrire que OM ;=»■*, ou d'après la formule (1) :

ix-<.y-\-(y~^r^r^. (2)

Telle est l'équation g-énérale du cercle. On trouve en la développant :

Cette équation est du second degré en x et y. les coefficients des carrés des variables sont égaux, et il n'y a pas de terme contenant le produit xy des variables.

116. — Réciproquement, toute équation du second degré entre x et y, dans laquelle les coefïicients des carrés des variables sont égaux et où n'entre pas le carré des variables, représente un cercle.

Soit en effet une telle équation :

Divisons par A, et posons t = c, -j- = c , -j-^ di

x^-\-y^-\-cx-\-c'y~\-d = 0, ce qu'on peut écrire :

Cette équation devient l'équation (2), si l'on fait

| = -S ~=-^, ~-\-Ç-d = r\L'éqmtion(4)ve-

présente donc un cercle. Le calcul précédent fait connaître les coordonnées du centre et le rayon. Toutefois, pour que l'équation représente véritablement

un lieu géométrique, il faut que la quantité ■? +"T — '^^

qui représente le carré du rayon, soit positive. Dans le cas contraire, le premier membre de l'équation (5) est la somme de deux carrés et d'une constante positive.