ÉQUATION DU CERCLE
L'équation ne peut être vérifiée pour les coordonnées d'aucun point réel. On dit dans ce cas qu'elle représente un cercle imaginaire.
Si le centre est pris pour origine, œ et p sont nuls, et l'équation (2) se réduit à
C'est l'équation du cercle rapporté à son centre,
HT. — Tangente au cercle. — Proposons-nous de trouver la tangente en un point du cercle dont les coordonnées sont a^i et y,. Le coefficient angulaire de cette tangente est la dérivée par rapport à a! de la fonction y définie par l'équation (6), dérivée dans laquelle il faudra mettre Xi à la place de x. Or l'équation (6) peut s'écrire :
d'oii
et en mettani Xi à la place de x :
Mais le coefficient angulaire de la droite qui joint le centre, ou l'origine, au point Xi, j/i, est — • Si donc on
appelle m le coefficient angulaire de ce rayon, et m' celui de la tangente, ii y a entre m et m' la relation
mm' -|- 1 = 0, d'oij ii résulte (n° 112) que la tangente en un point du cercle est perpendiculaire à rextrémité du rayon.
118. — Quant à l'équation de la tangente au point considéré, elle est :
Xi , ,
ou
yGoosle
et enfin, en observant que )e point *,, î/,, est sur le cercle :
xx, + yy, = r"-. (7)
119, — Puissance d'un point par rapport à un cercle. Soit le cercle représenté par l'éqnation déjà consiiJéréc :
SoitA un point du plan, dont les coordonnés sont aîo, î/o, et une sécante quelconque menée par ce point. Désignons par f l'angle qu'elle fait avec l'axe des x, par ( la distance du point A à un point M quelconque pris sur cette sécante : nous avons vu (n" 113) que les coordonnées du point M sont exprimées par les formules
x^^Xo-^-lcosrç, î/=^!/o + ? sin tp.
Si M est un des points d'intersection de la sécante et du cercle, ces coordonnés satisfont à l'équation du cercle. Donc (ico - « + ; cos oy +(;/„- p + i sin 9)^ - r' ^ 0. (8)
Les racines de cette équation en l sont les segments compris entre le point A et les points d'intersection de la sécante avec le cercle. Gomme elle est du second degré, la sécante coupe le cercle en deux points, réels ou imaginaires.
Cherchons le produit des racines de l'équation (8). Le coefficient du terme en P est sin^ cp -|- cos' ç — I ; le terme connu est :
K = (x,^ar-\-(y,~^y~r\ (9)
Donc le produit des racines est égal à ce terme connu. Or il est indépendant de (p, c'est-à-dire de la direction de la sécante. D'où le théorème déjà démontré en géométrie:
Si, par un point pris dans le plan ë'un cercle, on mène à ce cercle diverses sécantes, le produit des segments compris entre ce point et (es deux points d'intersection de la sécante avec le cercle est constant.
