ÉQUATION DU CERCLE

rapport au cercle. On voit à priori qu'il est positif, négatif ou nul suivant que le point est extérieur au cercle, intérieur, ou situé sur la circonférence. C'est ce qu'on peut déduire aussi de la formule (9).

121. — Axe radical, ~~ Cherchons le lieu géométrique des points d'égale puissance par rapport à deux cercles, représentés par les équations

(^-a)'-f(î/pr~r^^O, (10)

{x~:ir + (y-?y-r'^0. (11)

Soit Xa, ya les coordonnées d'un point d'égale puissance. D'après l'expression (9) de la puissance, on a:

(a;o-«)^ + (!/»-p)'-r'=(a;«-a7 + (î/o-PT-'-'^ Telle est la relation cherchée entre les coordonnées d'un point du lieu, c'est-à-dire l'équation du lieu. Nous l'écrirons, en supprimant les indices:

On voit en développant que les termes en x^ et en y^ disparaissent. Le lieu, dont l'équation est du premier degré, est donc une droite. On l'appelle l'axe radical des deux cercles.

Si les deux cercles se coupent, les coordonnées de leurs points communs annulent les quantités {x — a)^ -hiV — ^y — rMx — a'y -\-(y — Py^r'\ et par conséquent satisfont à l'équation (12). Dans ce cas, l'axe radical n'est autre que la droite joignant les points d'intersection des deux cercles.

Dans tous les cas l'axe radical est perpendiculaire à la droite qui passe par les centres. Car, si l'on prend cette dernière droite pour axe des x, (3 et ^' sont nuls, et l'équation (12), ne contenant plus alors de terme en ^, représente une parallèle à l'axe des )/.