DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES
droite AB. La distance OP à l'origine est donnce par ia
formule OP^t— et est facile à construire, puisque le est
moyenne proportionnelle entre 4 a et cette distance inconnue,
123, — Exemple II. — Trouver le lieu des points tels que la somme des earrés de leurs distances à deux points donnés A e( B soit égale à une quantité donnée k-.
En égalant à fc^ la somme des valeurs de MA clSIG , on trouve :
ou
équation d'un cercle ayant pour centre le milieu de ia distance des deux points, et pour rayon xI—
Pour
que ce cercle soit réel, il faut que h^ soit plus grand que 2a^. S'il est égal à 2«% le cercle se réduit à un point,
124. —Exemple III.— Un angle de grandeur constante 3M( glisse sur un plan de manière que ses deux côtés passent par deux points fixes A et B. Trouver le lieu décrit par son sommet,
Prenons pour ase des X la droite AB (fig. 56), pour axe des y la perpendiculaire menée à 'iL^ cette droite par son milieu 0. Désignons l'angle donné par V, les coefficients angulaires des droites MA, MB par m '■"■■ ''^■
et m'.
Si les côtés eux-mêmes de l'angle AMB passent par A et B, on a;
zm = mx — MAx,
yGoosle
,j tang MBa; — tang MAa; m' — m
^ 1-1- tang MBa; lang MA^ i-{-mm'
Mais l'angle, en glissant, atteint des positions telles que 3'MT, dans lesquelles un de ses côtés VL'z' passe, par exemple, par le point A, et le prolongement t'i de l'autre, par le point B. Alors
V — ^^"^ M'Ba;' -\- tang M'Aie
Mais tang M'Bx', ou tang t'iBx est le coefficient angulaire m' de la droite M'B; tang M'AjT est égale et de signe contraire à la tangente de l'angle supplémentaire z'Ax, c'està-dire à — m. Donc, dans tous les cas :
tang V — .— i ;■
° 1-j-mm'
Désignonsparaiel y les coordonnées d'un point du lieu, M ou M', par 2 c la longueur AB : les coefficients angulaires des droites AH, BM sont:
Portons ces valeurs dans l'expression de tang V:
„ œ — a x-i-a tang V = '
' a;* — «* Multiplions haut cl bas par x^ — a*:
tang V^ , , / ;,
ou en chassant le dénominateur, et multipliant parcotV: x'^-^-jf — ta cot V. y — «- = 0.
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C'est l'équalioii d'un cercle dont le centre est sut' l'axe des X et a pour ordonnée a eot V-
125. — Mais la recherche des lieux géométriques peut être plus compliquée. Soit deux courbes représentées par les équations
entre x, y et une constante m à laquelle on peut donner différentes valeurs : une pareille constante s'appelle un paramétre. Pour chaque valeur donnée à m, les équations (1) et (2) représentent deux courbes particulières, qui se coupent en un ou plusieurs points : les coordonnées de ces points sont les valeurs de œ et de y qui satisfont simultanément aux deux équations. Lorsque m prend différentes valeurs, ces points d'intersection se déplacent en décrivant une certaine ligne, qui est le lieu géométrique des points d'intersection des courbes (1) et (2). Il s'agit de trouver ce lieu géométrique.
Si l'on remplace x et y. par les coordonnées d'un point du lieu, les équations (1) et (2) en m ont une racine commune. Réciproquement, si l'on donne une même valeur à m dans ces mêmes équations, elles déterminent un ou plusieurs couples de valeurs de 3J et de !/ qui sont les coordonnées d'un point du lieu. Donc l'équation du lieu est la relation, entre te et y, nécessaire et suffisante pour que les équations (1) et (2) aient en m une racine commune. Trouver cette relation, c'est un problème d'algèbre qui s'appelle éliminer m entre les équations (I) et (2). Nous savons le résoudre dans des cas simples, par exemple lorsque l'une de ces équations est du premier degré en m : alors on résout cette équation par rapport à m, et l'on porte dans l'autre équation la valeur ainsi trouvée. L'élimination peut présenter des difficultés plus ou moins grandes- Quoi qu'il en soit, nous voyons que le problème de trouver le lieu géométrique des points l'ORCiios. — Coinpl. alg. et géom, 6
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d'iiilersection des courbes (1) et (2) se résout en éliminant m entre ces deux équations.
