Soit maintenant trois équations

entre j:', y et deux paramètres m, m'. Si l'on donne à m une valeur quelconque, ces équations déterminent en général un ou plusieurs systèmes de valeurs de x, y, m' satisfaisant à la fois aux trois équations; en sorte que si l'on attribue à m' une des valeurs ainsi déterminées, les trois équations représentent trois courbes qui ont au moins un point commun. Supposons maintenant que m prenne ditîérentes valeurs, et m' des valeurs correspondantes, ce point commun aux trois courbes se déplace en décrivant un certain lieu géométrique. L'équation de ce lieu se trouvera encore en éliminant m et m' entre les équations (3); (4), (5), c'est-à-dire en cherchant la relation, entre x et y, nécessaire et suffisante pour que les trois équations entre m et m' soient compatibles.

On voit de mÉme, plus généralement, qu'un système ■de n équations entre x,y et » — i paramètres détermine un lieu géométrique, dont on obtient l'équation en éliminant les n — i paramètres,

127. — Exemple IV. — Dans un triangle ABC (fig. 57) on mène une parallèle quelconque GH ai* côté BC : trouver le lieu- des points de rencontre des diagonales du trapèze BCHG.

Prenons pour axe des x le -^ côté BC, pour axe des y la médiane AO du triangle. Désignons OC par a, OA par 3.

L'équation de la droite GH, parallèle à l'axe des x, est y = m; celle de la droite AG (n° 24) est :

DKS i-lKliS GÉO MÉTIS IQUKS. 99

L'équation de la droite BH, passant par le point de rencontre de GII et de AG (n" 103), est de forme

et il faut déterminer X de manière qu'elle soit vérifiée par les coordonnées du point B, qui sont — ^ a et zéro. D'où

et l'équation de la droite BlI est :

m fx , y ,\

L'équation de la droite CG s'en déduit en changeant H en —a, savoir :

Voilà deux lignes dont les équations contiennent un paramètre)». Il suffit (n° 125) d'éliminer m entre ces deux équations. On trouve en divisant par m et en retranchant membre à membre :