L'ELLIPSE

Définition. Tracé. Symétrie.

1. — Définition. — L'ellipse est le lieu géométrique des points d'un plan tel que la somme de leurs distances à deux points fixes appelés foyers est constante.

On appelle rayons vecteurs d'un point du plan les distances de ce point aux foyers.

Nous désignerons par 2c la distance des foyers, par 2 a la somme des rayons vecteurs d'un point delà courbe.

On appelle excentricité le rapport —

2. — Tracé de l'ellipse d'un mouvement continu. — Soit F, F' les foyers. Ou fixe aux deux foyers les deux extrémités d'un fil inexten- fjg. l. sible de longueur égale à 2«. On tend ce 111 FMF' avec une pointe que l'on fait glis le plan : la pointe M décrit l'ellipse (flg. 1).

3. — Remarque I. — Ce tracé prouve que l'ellipse est une courbe fermée.

4. — REjfARQUE IL — Si les deux foyers sont confondus en un seul point 0, la courbe devient une circonférence de centre 0. Si, les deux foyers étant distincts, la longueur 2 a donnée au fil est leur distance 2 c, l'ellipse se réduit à la droite limitée FF'. La circonférence et la ligne droite (limitée) sont donc deux cas particuliers de l'ellipse, savoir ceux oii l'excentricité est égale à zéro ou à l'unité.

5. — Construction de l'ellipse par points. — Soit le milieu de la distance des foyers F, F' (fig, 2). Sur la

ilroite indéfinie qui

joint les foyers,

'-•Si

prenons de part et

-ïïi .... y \ J::B-

d'autre du point

leslongueursOAel

OA' égales à «. Les

deux points A et A'

"""r--::::;'o[r;;;ig:-|^'-t^--

" appartiennent à

l'ellipse. Car la

somme des rayons

1 /"" /ir

vecteurs du point

A, par exemple, est

AF + AF', ou AF

iM'

-HFA',ouenfin2ffl,

l'IG, 2,

puisqueAF'i^FA'.

D'ailleurs ces

points A et A' sont les seuls c

ommuns à la droite

indéfinie FF' et à la courbe. Car tout point pris sur la droite, en dehors de l'intervalle AA', a des rayons vecteurs plus grands que ceux du point A, et tout point pris entre A et A' a des rayons vecteurs dont la somme est moindre que celle des rayons vecteurs du point A.

Ensuite partageons la distance AA' par un point quelconque P. Décrivons des points F et F' comme centres des cercles ayant AP, A'P comme rayons. Si ces cercles

se coupent en un point M, ce point appartient à l'ellipse, car la somme de ses rayons vecteurs MF -j- MF' est égale àAP + PA', c'est à-dlre à 2a.

6. — Pour que ces deux cercles se coupent, il faut que la distance des centres soit moindre que la somme des rayons et plus grande que leur différence, La première condition consiste en ce que la distance des foyers 2 c doit être plus petite que 2a; sa nécessité est évidente. Pour exprimer la seconde, écrivons sous cette forme les rayons des deux cercles :

leur différence est 2 01', et la condition se réduit à

2 c> 2 OP, ou