OOP
Elle revient à dire que le point P doit être situé entre F et F'.
En donnant à ce point toutes les positions possibles entre F et F/ on obtiendra tous les points de la courbe.
7. — Axes de l'ellipse. — Lorsque les deux cercles de la construction précédente se coupent, leurs deux points d'intersection M, il' sont symétriques par rapport à ia droite AA'; donc la droite qui joint les deux foyers est un axe de symétrie de l'ellipse.
La perpendiculaire menée à la droite qui joint les foyers, par son milieu, est un second axe de symétrie. Soit en effet deux points M, M) symétriques par rapport à cette perpendiculaire yy' : leurs rayons vecteurs MF, MiF',MF',MiF sont égaux deux à deux comme symétriques par rapport à yy'. Donc la somme des rayons vecteurs du point Mi est égale à celle du point M, et, si l'un appartient à la courbe, il en est de même de l'autre.
8. — Sommets. — On appelle sommets les points où les axes rencontrent la courbe. Nous connaissons déjà ceux de l'axe Ai'. Pour avoir les points de la courbe
situés sur l'axe pf, il suffit de remarquer que les deux rayons vecteurs de l'un de ces points sont égaux; comme leur somme vaut 2 a, chacun d'eux vaut a. Les points cherchés B, B' sont donc à l'intersection de la droite yn' et d'un cercle décrit d'un des foyers F comme centre avec a pour rayon.
Désignons par 2 6 la longueur de l'axe BB'. Dans le triangle rectangle BOF, l'hypoténuse BF, ou a, est plus grande que le côté de l'angle droit OB, ou b. L'axe AA' est donc plus grand que l'axe BB', Le premier s'appelle le grand axe, le second le petit axe. Le grand axe, passant par les foyers, s'appelle aussi axe focal.
On voit que l'ellipse a quatre sommets, ceux du grand axe, A, A', et ceux du petit axe, B,B'.
9. — Connaissant les sommets, il est facile, inversement, de construire les foyers : il n'y a qu'à décrire un cercle du point B comme centre, avec a pour rayon ; les points F, F' où il coupe l'axe AA' sont les foyers.
Le triangle rectangle OBF, où les trois côtés sont respectivement égaux à a, b, c. donne la relation entre ces trois quantités :
