Centre. — Le point 0, milieu de la distance des

foyers, est un centre de sy-

,/M métrie de l'ellipse.

.^-'/'\ Soit en effet M un point

,,---'' / '\ de la courbe (fig. 3). Menons

,,--"' / \ ladroiteMO,etprolongeons-

p, :-;.'.'. /.'__.. [y^. la d'une longueur OM'=MO:

y^ ,,.-''' les deux points M, H' sont

,,.--'' symétriques par rapport au

\ / ,,--'" point 0. Les rayons vecteurs

y^:'' MF, M'F' sont égaux comme

symétriques par rapport au

Fie. s. point 0, et il en est de même

des rayons vecteurs MF',

M'F : donc la somme des rayons vecteurs du point M'est

égale à celle du poiat M, et lo point M' est sur la courbe. En d'autres termes, les points de la courbe sont symétriques deux à deux par rapport au point 0.

H. — Diamètres. — On appelle diamètre de l'ellipse toute droite joignant deux points de la courbe en passant par le centre.

Théorème. — Les tangentes en deux points de f ellipse symétriques par rapport au centre sont parallèles.

Soit en effet une sécante MS (fig. 4) passant par un point M, et P un second point où elle coupe la courbe. Construisons les points M', P' symétriques par rapport au centre 0, et menons par ces points la droite M'S' : elle est symétrique de MS, et par suite parallèle à cette droite. Supposons que la sécante MS tourne autour du point M jusqu'à ce que le point P se confonde avec le point M, c'est-à-dire jusqu'à ce qu'elle devienne la tangente MT; le point P' vient alors se confondre avec le point M', et la droite M'S' devient aussi la tangente M'T'. Puisque les sécantes MS, M'S' sont constamment parallèles, il en est de même de leurs limites MT, M'T'.

i2. — Point intérieur, point extérieur. — Suivant qu^un point est extérieur ou intérieur à l'ellipse, ta somme de ses rayons vecteurs est plus grande ou plus petite gue le grand axe.

i' Soit d'abord (fig. 5) un pointM extérieur à la courbe.

Menons la droile FM, soit N le point, situé entre F et M, où elle rencontre la courbe. Menons les droites MF', NF'. D'après la définition de la conrbe :

]NF + NF'==2«.

Or, d'après une propriété du triangle: