MN < MN

IL en résulte que tout point de l'ellipse est équidistant de l'un des foyers et du cercle directeur ayant l'autre foyer comme centre.

14. — Réciproquement tous les points équidistants d'un cercle et d'un point intérieur à ce cercle sont sur une ellipse. Soit en effet (flg. 6) un cercle décrit d'un point F comme centre, M un point équidistant de ce cercle et du point intérieur F' ; par iiypotlièse, si l'on mène la droite MF', et si l'on prolonge la droite FM jusqu'à son point d'intersection N avec le cercle, MF' ^= MN. Mais puisque FM -|- MN est égal à une quantité constante, savoir au rayon du cercle, qu'on peut appeler 2«, il en résulte MF'H-MF' = 2«. Nous conclurons de là cette autre définition de l'ellipse :

L'ellipse est le lieu géométrique des points équidistants d'un cercle fixe et d'un point intérieur à ce cercle.

Le centre et le point fixe sont les deux foyers; la rayon du cercle est la longueur du grand axe.

Intersectian de la courbe et d'une droite.

Tangente. JN'ormale.

15. — Problème, — Décrire un cercle passant par deux points donnés A, B, et tangent à une circonfèi'ence donnée 0.

Supposons le problème résolu. Soit ACB (fig. 7) la circonférence cherchée, I son centre, C le point de contact. Imaginons la tangente commune en G aux deux circonférences, et soit Pie point où elle est coupée par la droite

lÛK GÉOMIÎTKIE.

AD. Menons par le point P une droite quelconque coupant la circonférence en deux points M, N. La droite PC étant tangente à chacune des deux circonférences 0, I, et les droites PNM, PAB leur étant respectivement sécantes, il en résulte :

Pc' = P.\xPM, PC' = PA X PB, d'où

PAXPB^P-'JXPM, el. par conséquent les quatre points A, B, N, M sont sur un même cercle.

.^ D'où la con-

,,--'' i\ struction :

,,--'' ii \ On trace par

les points A, B un cercle quelconque coupant le cercle donné en deux points M, N, on mène les droites AB,MN, et par leur point d'intersection P une tangente PC au cercle : C est Fiû, 7. lepointdecon-

tact cherché.

Le centre I du cercle demandé est à l'intersection de la droite OC et de la perpendiculaire élevée à AB par son milieu.

Le cercle I ainsi construit est bien tangent au cercle 0. Car PC étant tangente, PNJI sécante au cercle 0, il en résulte :

PC' = PNXPM.

yGoosle

De plus PMM, PAB étant toiiles deux sécantes au cercle auxiliaire ANMB, &n en conclut :

PAXPB = PNXPM, el par conséquent:

rc' = PAxPB;

d'oiÀ il suit que le cercle mené par les points A, C, B est langent à la droite PC. Les deux cercles I, 0, tangents à la même droite PC au niCme point, sont donc tangents entre eux.

16. — Discussion, — Si le point P est extérieur au cercle donné 0, on peut par ce point mener deux tangentes PC, PC à ce cercle, et il y a deux cercles 1,1' satisfaisant à la question.

Si ce point P est intérieur au cercle 0, il n'y en a aucune.

Enfin, si le point P est sur le cercle 0, on ne peut mener par ce point qu'une tangente à ce cercle, et il n'y a qu'une seule solution. En d'autres termes, lorsque le point P tend vers un point de la circonférence 0, les deux tangentes menées par ce point au cercle tendent à se confondre en une seule, et les deux cercles I et I' à se confondre en un seul.

Or le premier, le second et le troisième cas se présentent suivant que : 1° les points A et B sont tous deux extérieurs ou tous deux intérieurs au cercle 0; 2° l'un est intérieur et l'autre extérieur; 3' l'un d'eux est sur îe cercle 0. En effet :

1° Si les point A et B sont tous deux extérieurs ou tous deux intérieurs au cercle 0, les quatre points A, N, M, B se ^présentent sur le cercle auxiliaire dans l'ordre AKMB ; le point de rencontre des deux cordes AB, MN est sur le prolongement de la corde MN du cercle 0, et par conséquent extérieur à ce cercle.

2' Si les points A et B sont l'un intérieur, l'autre extérieur (fig. 8), les points se présentent sur le cercle auxi- PoncHOH. — Gompl, alg. et géom, 7

liaire dans l'ordre ANBM, les deux droites AB, MN se coupent en un point situé entre M el N, et par conséquent intérieur au cercle 0.

3° Enfin, si le point A par exemple est sur le cercle (fig. 9), le point K se confond avec le point A, el par suite le point P lui-même se confond avec le point A.

Au reste, dans ce troisième cas, il est évident à priori que le point de contact est le point A. Le centre 1 du cercle cherché est donc sur la droite OA, puisque la droite des centres doit passer par le point de contact. Il se trouve de plus sur la perpendiculaire menée à AB par son milieu, et par conséquent au point d'intersection de ces deux droites.