Intersection d'une ellipse et d'une droite

Proposons-nous maintenant de construire les points où une droite donnée XY coupe une ellipse, connaissant les foyers F, F' et le grand axe AA' (flg. 10).

Supposons le problème résolu : soit M un des points d'intersection cherchés. Le point M est à égale distance du foyer F' et du cercle directeur décrit de l'autre foyer comme centre. Décrivons le cercle ayant M pour centre et MF' pour rayon. Il est tangent au cercle directeur au point Q. La question revient à construire le centre de ce cercle, sachant que le cercle a son centre sur la droite XY,

qu'il passe par un point donné F' et qu'il est tangent à un cercle donné. Pour ramener ce problème au précédent, observons que le cercle demandé passe par le point G, symétrique

point F' par rapport à la droite XY, et il n'y a plus qu'à décrire un cercle passant par les deuxpointsdonnés F', G, et tangent au cercle directeur.

D'aprèsie problème précédent, on fait passe rpar les pointa F', G un cercle quelconque coupant le cercle

directeur aux y^^ ,q

points R et S, on

prolonge les droites F'G, RS jusqu'à leur point de rencontre P, on mène la tangente PQ au cercle directeur, et enfin on trace la droite FQ. Le point M où elle coupe la droite XY est un des points d'intersection cherchés.

18. — Discussion, — D'après le problème précédent, la droite XY rencontre l'ellipse en deux points, ne la rencontre pas, ou a un seul point commun avec elle, suivant que le point G symétrique d'un foyer F' par rapport à la droite est à l'extérieur du cercle directeur ayant l'autre foyer pour centre, à l'intérieur de ce cercle ou sur ce cercle.

Il résulte de là que VelHpse ne peut être rencontrée par une droite en plus de deux points. Une courbe qui jouit de cette propriété est dite convexe.

H2 CÉOllÉTRll!;.

tl9.— Propriété fondamentale delà tangente. — Supposons qu'une sécante Xï tourne autour d'un de ses points d'intersection M jusqu'à ce que le pointG, symétrique du foyer F' par rapport à celte sécante, vienne se placer sur le cercle directeur décrit de l'autre foyer comme centre. Le point S, dans la figure 10, se confond avec le point G, et il en est de même du point P. Les deux tangentes PQ, PQ' menées au cercle par le point 'P se confondent en une seule, qui est la tangente en :6, et leurs points de contact se confondent eux-mêmes avec le point G. Les droites t'Q, FQ' se confondent donc en une seule FG, et leurs points d'intersection M, M' avecXY se confondent en un seul M. La droite devient donc tangente en M (flg. 1-1).

Menons la droite MF' et désignons par I le milieu de ladroiteGF', situé par hypothèse sur la droite XY. Les triangles GMI, l'^'AII sont égaux comme ayantmn angle égal en I, compris entre côtés égaux chacun à chacun. Donc les angles GMI, T'MI sont égaux. Telle est la propriété fondamentale de la tangente à l'ellipse que nous formulerons ainsi :

La tangente en un point de l'ellipse est blssectriee de l'angteformé par l'un des rayons veoteurs dupvint de eontact.et le prolongement de l'autre.

50. — Corollaire 1. — Le lieu des points symétriques d'un foyer par rapport aux diverses tangentes est le cercle directeur décrit de l'autre foyer comme centre.

Jîous venons de voir en effet que le point G est sur le cercle directeur ayant F comme centre.