Corollaire II. — Le '-lieu des proisations des

foyers sur les tangentes est k- eercle- décrit sur le grand axs comvie diamètre.

Sait le canke. La droite 01^ qui joint les milieux de deux Gôtés- dans le Iriàngle FF'G, est égale à la moitié du IroiBiènifi' FG, c'est-à-dire à a-. Le lieu du point I est donc un cercle décrit dui point comme centre avec a pour rayon.

Ce cercle s'appelle le cercle principal de l'ellipse.

22.. — Corollaire III. — Le produit des distances des foyers à une tangente quelconque est constant et é carré de la moitié du petit axe.

Soit XY une tangente (fig. 12), M' son point de contact, XjYi la tangente au point Ml symétrique .

de M par rapport au VT^ centre :. ces deux tangentes sont parallèles (n" \i ).

Abaissons du foyer F'Ia perpendiculaire Vic. 1-2.

commune GGi sur

ces deux tangentes ; leurs pieds G^ G, sont sur le' cercle principal, auquel appartiennent aussi les sommets A, A' du' grand axe. D'après une propriété du cercle, F'G X F''G, = F'A' X F'A = (OA' - OF') (OA ^ OF') = (a-c)(a.+c)=a^~c^=bK Or,, si l'on fait tourner la tangente X,ïi de 180 degrés autour du point 0, elle s'applique sur ta tangente symétrique XY, et F'Gi s'applique sur la perpendiculaire FG' abaissée du poinbF surXY; donc

2;ï. — Normale.

■ On appelle normale en un point

lU GÉOMÉTRIE.

d'une courbe la perpendiculaire menée par ce point à la tangente. Menons la bissectrice MN (flg. 13) de l'angle FMF' formé par les rayons vec- 9-- leurs du point M de

la courbe; je disque c'estlanortnaleenM, En effet, la tangente XY est bissectrice de V l'angle F'MQ formé par un rayon vecteur Pjç ,3 et le prolongement

de l'autre. La somme des angles FMt", F'MQ vaut deux droits; donc la somme de leurs moitiés, NMY, vaut un droit, et MN est normale, d'où ce théorème :

La normale en un point de l'ellipse est la hissectricede l'angle formé par les deux rayons vecteurs dupoint.

24. — Corollaire. — La normale et la tangente en un point de l'ellipse déterminent sur la droite qui joint les foyers, l'une deux segments additifs, Vautre deux segments soustractifs proportionnels aux rayons vecteurs du point.

Cela résulte de la propriété des bissectrices d'un angle intérieur et d'un angle extérieur d'un triangle.

25. — Problème I, — Mener une tangente à l'ellipsepar un point M donné sur la courbe..

On prolonge l'un des rayons vecteurs FM d'une longueur M6 égale à l'autre (flg. 11) et l'on élève à la droite F'6 une perpendiculaire par son milieu ; c'est la tangente demandée.

26. — Problème II. — Mener une tangente à l'ellipse par un point quelconque K.

Supposons le problème résolu. Soit KX la tangente demandée (fig. 14). Tout revient à trouver le point G symétrique du foyer F' par rapport à cette tangente. Or les

distances KG, KF' sont égaies parce que le point K appartient à ia perpendiculaire élevée à la droite F'G par son milieu. Donc le point G appartient au cercle décrit du point K comme centre avec KF' comme rayon. Il appartient

aussi au cercle direc-

teur décrit du point ,-■''' ~"~-., ',

F comme centre.

Donc il est à leur rencontre. D'oii la construction :

Du point donné K comme centre on décritun cercle passant par l'un des foyers F'; de l'autre foyer comme centre on décrit un cercle avec le grand axe pou r rayon .

Soi! 6 l'un des points

où se coupent ces Fig. u.

deux cercles. On

mène la droite F'G, puis la perpendiculaire KX à cette droite par son milieu : c'est la tangente demandée. Quant au point de contact M, on l'obtient, sans tracer la courbe, par l'intersection des droites KX, FG.

27. — Discussion. — Si les cercles se coupent en deux points G, G', il y a deux solutions, KX, KX'; s'ils se touchent, il n'y en a qu'une seule ; s'ils n'ont aucun point commun, il n'y a point de solution.

Étudions la condition de possibilité. La construction revient à faire le triangle KFG dont on connaît les trois côtés, KF, KG =.KF', FG = 2 «. Pour qu'il soit possible, il faut et il suflit que chaque côté soit plus petit que la somme des deux autres, ce qui fait trois conditions :

KF<2« + KF', KF'<2fl+KF, Sa <KF-)-KF'.

Les deux premières sont remplies quel que soit le point K. En elïet les trois points K, F, F' ou sont les trois

llfi GÉOMÉTRIE,

sommets d'un triangle, ou sont' ea ligne droite, d'où, en désignant toujours FF' par 2 c :

KF^2t + KF', et, puisque 'ia>'ic :

KF<2a + KF'; de même pour la seconde condition.

Quant à la troisième, elle exprime que le point K est hors de l'ellipse. Telle est la condition nécessaire et suffisante pour que le problème ait deux solutions ;. car, si le triangle KFG est possible, il en existe un second KFG', symétrique du premier par rapport à la droite l^. Dans le cas où KF -\- KF' ^^ 2 b, c'est-à-dire où le point K est sur l'ellipse, nous avons vu qu'il y a une seule solution,

28. — Problème. — Mener à l'ellipse mie tangente parallèle à une droite donnée.

Soit Z la droite donnée, X la tangente demandée (flg, 15). Il suffit encore

struit, il n'y a plus qu'à élever la perpendiculaire X à F'G par son milieu. Le point de contact M est à l'intersection des droites X et FG.

Le point F' étant à l'intérieur du cercle directeur, la

perpendiculaire à Z menée par le point F' renconlve ton jours le cercle directeur en deux points G, G': donc on peut mener à l'ellipse deux tangentes parallÈies à toute droite donnée.

Nous savons d'ailleurs (n° 11) que leurs points de contact sont diamétralement opposés.

29. — Théorème. — -1" Les deux tangentes i une ellipse par mi point extérieur font des angles égaux avec les deux rayons vecteurs de ce point.

2" La droite qui joint l'un des foyers au point de concours des d'eux tangentes est bissectrice de Vangle que font les rayons vecteurs menés du même foyer aux deux poinVs de contact.

Soit KM, KM' (fig, 16) les deux tangentes issues du point K, M et M' leurs points de contact, G et G' les points symétriques des foyers F et F' respectivement par rapport à ces tangentes.

Nous savons que M et M' sont respectivement sur les droites F'G, F&'.

1° Les triangleeEGF',.KFG'

sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à.chaeun, savoir KG= ICF, KF' = KG', GF' ^ FG' = 2 a. Donc les angles GKF', FKG' sont égaux. Or ils ont une partie commune FKF'; par conséquent les parties non communes GKF, G'KF' sont égales, et il en est de même de leurs moitiés 1,,!'.

2? Par suite de l'égalité des mêmes triangles, les angles

2 et 3 sont égaux. Mais les angles 3, 2' sont égaux comme symétriques par rapport à la droite KM, Donc les angles 2, 2' sont égaux, et FR est bissectrice de l'angle MFM',

30. — Corollaire. — La portion d'une tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est vue d'un des

foyers sous un angle constant.

Soit RS la portion d'une tangente mobile comprise entre les deux tangentes fixes KM,KM'(fig.l7), N, M, M' leurs points de contact respectifs.

Les droites F'R, F'S sont bissectrices des P,^, 17 angles MFN, NF'M'.

La somme de ces deux derniers angles est égale à l'angle constant MF'M'. Donc la somme de leurs moitiés, RF'S, est constante.

A.ppli cations,

31. — Problème I. — Construire une ellipse, connaissant les deux foyers F', F et une tangente'Y.

Prenons le point G symétrique de F' par rapport à la tangente (flg. 18) : la droite FG est la longueur du grand axe. Nous sommes donc ramenés à construire une ellipse connaissant les deux foyers et la somme des rayons vecteurs d'un point de ta courbe (n™ 2 et 5), Observons que le point de contact M de la tangente est au point de rencontre des droites T et FG.

Enfin la longueur du petit axe peut être déterminée

iûdépendammenl de celle du grand axe. Car sa moitié est la movenne proportionnelle entre les distances des foyers à la tangente T (n" 22).

32. — Problème II. — Construire une ellipse, connaissant un foyer F', trois tangentes T, T', T" (flg. 19).

Construisonsles symétriques G, G', G" du foyer F' par rapport aux trois tangentes; ils appartiennent au cercle directeur décrit de l'autre

foyer F comme centre. li suffît donc pour obtenir le second foyerFdeconstruirelecentre du cercle passant parles trois points G,G',G".Le problème est alors ramené au précédent. Pour que le problème soit possible, il faut que les points G, G', G" ne soient pas en ligne droite, et que le foyer F' soit intérieur au cercle GG'G" ; car chaque foyer de l'ellipse est intérieur au cercle directeur décrit de l'autre foyer comme centre.

33. — Remarque. — Si les trois points G, G', G" sont en ligne droite, nous verrons plus loin qu'il existe une parabole ayant F' pour foyer et T, T', T" pour tangentes.

Si le point F' est extérieur au cercle GG'G", il existe une autre courbe appelée hyperbole, satisfaisant aux mêmes conditions.

34. — Problème III. — Construire une ellipse, connaissant un foyer F, deux tangentes T, Tet la longuetir '^ 3. du grand axe.

Construisons les points G, G' symétriques de F' par rap-

port aax deux tangentes (flg. 20). L'autre foyer F est à une distance de chacun des points G et G' égalé à 2a. Il estdoncà l'intersection d'esdeux cercles décrits- des points G et G' comme centres / avec 2 a pour rayon, \ soit en F, soft en Fi.

\ Le second foyer étant construit, le problème, est ramené au précédent.

Fie. 20. Le problème ne

peut avoir plus dé deux solutions. Pour qu'il soit possible, il faut que les deux cercles aient au moins un point commun, et, par conaé^ quent, que GG' soit au plus égal à lasomme des rayons 4 «. De plus, pour que l'un de leurs points d'interseclroH F convienne, il faut que le point F' soit à l'intérieur du cercle décrit de F comme' centre avec 2 a pour rayon.

Équation de l'ellipse rapportée à, ses axes.

î*rojection orthogonale du cercle.

35. — Équation de l'ellipse rapportée à ses axes. — Proposons-nous de trouver l'équation de l'ellipse, ea prenant pour axes des x et des y le grand et le petit , axe.

Soit M (flg. 21) un point quelconque de la courbe, MP son ordonnée, OP son abscisse, rio. 21. que nous représentons

respectivement par y et X. Les rayons vecteurs du point M sont :

L'IiLLlPSE.

MF ^ VMP' + ^\ ÏIl*" = V^P' -\-W' Or on a algébriquement :

PF'^OF' — ÛP= — c-a;. Donc

MF ^ Vf^{c-xy, MF' = \/ î/= + (c + o^y.

L'équalion cherchée est donc,, d'après la définition de la courbe :

W + ic-xy-ï'^/y' + ic + xy^la. {!)

Pour rendre cette équation rationnelle, isolons l'un des radicaux:

Élevons les deux membres au carré :

= Aa-- — la\/ y^-\-{c —xy-\-if-i- {c-xf.

Isolons encore le radical, et faisons les réductions :

a s/ y^ -{- {c — xy — a^ — ex.

Élevons encore au carré et supprimons deux termes qui se détruisent :

Ordonnons en faisant tout passer dans le premier membre :

aY + («^ - c') x^ - a' («^ - c') = 0.

Enfin écrivons b^ au lieu de a^ — c' ;

giyi | (, V ^B j3 0,

ou, en divisant par a^b°-:

Telle est l'équation do l'ellipse rapporlée à ses axes.

Toutefois, comme on a élevé deux fois au carré, l'équaquation (2) est équivalente non pas à l'équation (1), mais aux quatre équations que l'on obtient en combinant les signes de toutes les manières possibles dans l'équation suivante :

Or 2 a étant positif, cette équation ne peut avoir lieu entre des valeurs réelles de x et de î/ en prenant les deux signes — . Elle ne peut avoir lieu non plus en prenant les deux radicaux avec des signes contraires, c étant supposé plus petit que a comme nous l'avons fait. Car elle reviendrait à l'une des suivantes:

MF' — MF = 2a, MF — HF' = 2(ï.

Or dans le triangle MFF' la différence entre tes deux côtés MF, MF' est plus petite que le troisième côté 2c, et par conséquent plus petite que 2«, quel que soit le point M. Ainsi l'équation (2) est équivalente à l'équation (1) pour toute valeur réelle de x et de y.

m. — On tire de l'équation (2) :

Cette dernière formule met en évidence les propriétés suivantes :

1" L'abscisse d'un point quelconque de l'ellipse est comprise entre — a e( + a.

Car pour toute autre valeur de x, y serait imaginaire. On démontrerait de même, en résolvant par rapport à œ, cette proposition :

L'ordonnée d'un point quelconque de la courbe est comprise entre — b et + fa.

Il en résulte que la courbe est contenue tout entière dans le rectangle GHIK (fig. 22), dont les côtés GIl, IK sont menés parallèlement à l'axe des y aux distances

OA = a, OA' = — a, et les côtés KG, IH parallèlement à l'axe des œ aux distances OB = 6, OB' = — b.

2° La courbe est symétrique par rapport à l'axe des x.

Car à chaque valeur de x correspondent deux ordonnées égales et de signes contraires.

3° Elle est symétriqtie par rapport à l'axe des y.

Car la valeur de l'ordonnée y ne change pas quand on change a; en — w. On déduit de 2° et de 3° la symétrie de la courbe par rapport à l'origine.

,' ^ Ja

FiG. 22. FiG. 23.

4° h'ahscme croissant de zéro à a, la valetirpositice de l'ordonnée décroit de b'à a.

5° Décrivons sur AA' comme diamètre le cercle ABiA'B'i (flg. 23). Soit M, Ml deux points de l'ellipse et du cercle ayant même abscisse OP = x. Désignons leurs ordonnées, supposées positives par exemple, parî/etj/i respectivement. D'après une propriété connue du cercle, PMi est moyenne proportionnelle entre A'P et PA, c'est-àdire entre a -j- a; et a — x. Donc

Comparons cette formule à I déduit:

Donc les ordonnées de l'ellipse sont aux ordonnées du cercle principal dans un rapport constant.

On verrait de raême=, en décrivant uni cercle surBB' comme diaciètre, qu« les abscisses de l'ellipse et de ce cercle, csitrespondant à une même ordonnée, sont dans un rapport coni-

^"'- ^^' 37. — Rayons vecteurs

en fonction de l'abscisse.

— F désignant le foyer d'abscisse -\- c, r le rayon vecteur

MF d'un point quelconque de la courbe (fig. 24), on a ;

Ajoutons membre à membre les équations (4) et (7):.

''' = ^. («'-*') -hy^ — -^)

ou en développant:

et en remplaçant b^ par a^ — c' :

r^ := a^ — ^cw -| — ^ x^,

Puisque x nedépasse pas «en valeur absolue et que -

est plus petil que i, il faut prendre le signe -f- pour obtenir une valeur positive. On doit donc écrire :

On démontre de même, en désignant par r' le rayon vecteur mené au foyer F' d'abscisse — c :

Ces formules montrent que r atteint son maMmuni et son minimum respeclivemeot pour a; — — a,.x = -[- a, et que l'inverse a lieu pourr'.

38, — Théorème. — L'ellipse est la projection orthogonale d'un cercle.

Reprenons la figure 23, Tout en laissant fixe le plan de l'ellipse, faisons tourner le cercle ABiA'B', autour de AA' comme charnière. Chacun de ses points tels que Mi décrira une circonférence dont le centre est le pied P de son ordonnée, dont le plan est perpendiculaire à AA' et par suite au plan de l'ellipse. Ce point Mi se projettera donc constamment sur la droite indéfinie PMi. D'ailleurs, toutes [es ordonnées du cercle, étant parallèles, seront proportionnelles à leurs projections.

Imaginons maintenant que le cercle s'arrête dans une positiontelle que le point B, d'abscisse nulle se projette en B.Le point Hj se projettera sur la droite PM en un point m, tel que l'on ait :

Pm PB 6 PMi "~ OB, "~ a Mais déjà (formule 0):