PM

Donc la projection m du point Mi se confond avec le point M de l'ellipse, C. Q. F. D.

39. — Goroluaihe I. — Mciproquement un cercle se projette sur un plcm quelconque suivant une ellipse.

Car la projection d'une figure ne change pas quand on transporte parallèlement li lui-même le plan sur lequel

on projette. On peut donc supposer ce pian passant par le centre du cercle : il coupe ce cercle suivant un diamètre AA', il est donc dans les conditions de la figure 23, et il a pour projection l'ellipse dont le grand axe est AA', et le petit axe est la projection du diamètre perpendiculaire à AA',

On voit que le grand axe de l'ellipse est la projection du diamètre parallèle au plan de projection, et est égal au diamètre du cercle ; le petit axe est la projection du diamètre perpendiculaire au premier.

tt\ — Nouvelle con^tiuction de l'ellipse. — Du

théorème précédent

B,, lésulte une con-

- ^ struction de l'ellipse

par points, étant

donnés les a>;es.

Sur les axes AA', BB' comme diamètres, décrivons deux cercles (fig. 25) , Menons un rayon quelconque OQMi, les coupant en îtfi et en Q. Menons enfin les droites QM ispectivement à AA' et à BB': leur est un point de l'ellipse.

Car P désignant ie point de rencontre de Mill et de AA', on a évidemment:

PM __0Q & PM, ~ OM, ~ a 41. — Tangente en un point de la courbe. — Après avoir construit comme il vient d'être expliqué un point M de l'ellipse, il est facile d'obtenir la tangente en ce point : elle est, la projection de la tangente au cercle en Mi. Menons cette dernière, soit S le point où elle coupe l'axe de rotation AA'. Go point ne change pas quand

et MiM parallèles i point de rencontre '

on fait tourner l'ellipse, il appartient donc à la projection de la tangente, et cette tangente est dès lors SM.

42. — Intersection de l'ellipse et d'une droite. — Cette nouvelle manière de concevoir l'ellipse permet de résouilre par d'autres procédés plusieurs des problèmes déjà traités. Cherchons ((ig.26) parexempleles points où

une droite xy rencontre l'ellipse dont les sommets sont A,B,A',B'. Considérons l'ellipse comme projection du cercle ABiA'B'i décrit sur AA' comme diamètre. La droite ûsy du plan de l'ellipse est la projection d'une certaine droite Xijfi appartenant au plan du cercle, et qu'il suffit de construire.

B'àbord ie point R, où olle coupe l'axe de rotation AA', appartient à Xip,.

Pour obtenir un second point de cette droite, menons daas le plan de l'ellipse là droite BN parallèle à AA' et coupant xy en N. Cette droile étant parallèle à l'axe A-A' est la projection d'iine parallèle à'AA', qui passe nécessairement par le point Bi. Le point Nj, dont la projection est N, se trouve sur cette parallèle ; il se trouve aussi sur une droite de rappel perpendiculaire à AA' et menée par le point N. Il est donc à l'intersection de ces deux droites. La droite Xiyi est maintenant connue : c'est RNj. Elle coupe ie cercle en deux points Mi, M'i dont il suffit d'avoir les projections: elles sont à l'intersection de xy et de droites de rappel menées par Mi et Nj, soit en M, N.

4-3. — Tangente à l'ellipse par un point quelconque. — Soit l'ellipse donnée de la même manière, et M le point donné (iig. 27). 11 suffit de trouver le point Mj du plan du ^ cercle dont le

^:^/ point M, situé

dans le plan de l'ellipse, est la projection. Pour cela menons dans le plan de l'ellipse la droite MB, qui coupe l'axe AA' en R, et construisons la droile du plan: du. cercle dont RB est la yjQ aj. projection. Le

point R, étant sur l'axej est un point de cett-e dïioite ;: le point Bi.qui a B pour projection, en est un second. La droite cher-

1/ELUPSE. 129

chée est donc RBi.'Le poifttMiest à t'intersection de cette droite et d'une droite de]rappel menée par lepoint.M.

Il n'y aiplus qu'à mener par le point Mi les tangentes au cercle, MiS, MiS'.: leurs projections sont ,lea droites MS, MS' qui les coupent sur l'axe, et ce sont les tangentes à l'ellipse. Les points de contact N, N' sont à l'intersection des tangentes eUes-mêmes et des lignes de rappel menées par les points de contact Ni, N'j des tangentes au cercle.

On construirait de même les tangentes à l'ellipse parallèles à une direction donnée.

4i. — Propriétés projectives. — Certaines propriétés des figures appartiennent aussi aux projections de ces lîgures; on les appelle propriétés projectives.

Par exemple, si dans une figure certaines droites passent par un même point, ou sont parallèles, si plusieurs points sont en ligne droite, si un point est au milieu de la droite qui en joint deux autres, ces particularités se présentent aussi dans la figure projetée.

Considérons ces propriétés du cercle :

Un-cercle ne peut être rencontré par une droite en plus de deux points.

Par M» point donné, on peut mener. deux îangenîes.au cercle, ou une seule tangente, ou on n'en peut mener aucune, suivant qUe ce point est extérieur au cercle, placé s.ur la circonférence, ou intérieur au cercle.

Toute corde menée .par un certain point du cercle, appelé centre, a ce point pour milieu.

Toutes ces propriétés sont évidemment projectives ; on peut donc les transporter à l'ellipse.

45. — Diamètres conjugués. — On sait que dans un cercle ie lieu géométrique des milieux P des cordes MN parallèles à une idirection quelconque est une droite ^QR qui ipasse jpar le, centre. Une telle. droite s'appelle un.diamètre<flg. 28).

^DeipluSideuxdiamètresrectangulaires.QR, ST jouissent de. cette propriété, que .cîiacun partage en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre.

Projetons le cercle sur un plan. Les cordes parallèles MN du cercle ont pour projections des cordes parallèles mn de l'ellipse ainsi obtenue (fig. 29). Le centre du cercle a pour projection celui de l'ellipse, o. La projection d'un

diamètre QR'du cercle est un diamètre qr de l'ellipse. Deux diamètres rectangulaires ont pour projection deux diamètres qr, st, qui ne sont plus rectangulaires, mais dont chacun partage en parties égales les cordes parallèles à l'autre. Nous pouvons donc formuler le théorème suivant :

Le lieu des milieux des cordes menées dans une ellipse parallèlement à une direction quelconque est une droite passant par le centre, et qu'on appelle diam-étre. A chaque diamètre de l'ellipse en correspond un second tel que chacun partage en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre.

■ Deux pareils diamètres sont dits conjugués.

Remarque. —Ajoutons que dans le cercle les tangentes U, Vaux deux extrémités d'un diamètre sont parallèles au diamètre conjugué. Il en est de même dans l'ellipse.

46. — Cordes supplémentaires. — On appelle cordes supplémentaires dans le eercle ainsi que dans l'ellipse deux cordes NM, NP qui joignent un point quelconque N de la courbe aux deux extrémités d'un diamètre quelconque MP. Dans le cercle, deux diamètres parallèles à deux cordes supplémentaires sont conjugués. Comme

cette propriété est projcctive, il en est de même de deus diamètres parallèles à deux cordes supplémentaires nm, np de l'ellipse (flg. 29).

De là résulte un moyen simple de construire le diamètre conjugué d'un diamètre quelconque rq, en supposant l'ellipse tracée. On mène un diamètre quelconque mp, puis la corde pn parallèle au diamètre donné. Le diamètre cherché est parallèle à la corde supplémentaire mn.

Enfin cette construction peut servir à mener la tangente en un point donné q sur l'ellipse. Car elle est parallèle au diamètre conjugué de celui qui passe par le point q.

47. — Aire de l'ellipse.— Soit l'ellipse ABA'B'' (fig. 30), de grand axe AA', de petit axe BB', et le cercle AB'i Â'E'i p, ......--r'.-,-.-,. m.

dont elle est la projection.

Inscrivons dans la moitié de l'ellipse un polygone quelconque AMNBPQA,', menons les ordonnées mM,»N..., prolongeons-les jusqu'à la rencontre du cercle en Mi, Ni...

et inscrivons dans le demicercle le polygone AMiNi... ^'i dont le premier est la pro- fig. 30.

jection. Deux trapèzes tels

que mMN«, mMiNiW ont même hauteur mn; ils sont donc entre eux comme la demi-somme de leurs bases, ou

dans le rapport-, puisque leurs bases, qui sont les ordonnées du cercle et de l'ellipse, sont dans ce rapport.

Tous les trapèzes formés dans l'ellips rapport - avec ceux qui sont formés en est de méirie de leur somme :

■urf AMNBPQA^

: étant dans le e cercle, et il

urf AM,N,BiPiQiA'"

yGoosle

Supposons maintenant qao le nombre des trapèzes (iroisse incléflniment et que leurs hauteurs tendent vers zéro. Les surfaces des polygones tendent respectivement vers la demi-ellipse et vers le demi-cercle. Donc l'aire de

l'ellipse est à celle du cercle dans le rapport -, et la pre-

mière S s'obtient en multipliant la s

;onde par -

Ce résultat, qui peut s'écrire vl[ffl^X^tù^ s'énonce ainsi :

L'aire de l'elUpse est moyenne proportionnelle entre celles des deux cercles décrits sur les deux axes comme diamètres.

- Autre construction de l'ellipst

droite se dépi

le centre. Mais, MiPO, on a :

■Lorsqu'une de manière que deux de ses points A et B décrivent deux droites »'ectangulaireS'(i'^,OY, nnquelconque de ses points décrit uneellipse (fig. 31).

En effet, menons par le point M la droite MP perpendiculaire à OX, et par le point la parallèle OMi à BM; soit Ml le point de rencontre de ces deux droites. LalongueurOM, est constante et égale à BM ; ■ donciJe point Mi décrit un cercle dont est iprès les triangles semblables MPA,

PM

PMi'

yGoosle

Donc les ordonnées du lieu du point M, par rapport aux axes OX, OY, sont proportionnelles à celles du cercle. Ce lieu est donc une ellipse dont les axes sont dirigés suivant OX, OY, et ont respectivement pour moitiés 0D^BM,OE = AM.

Dans le cas où le point M est au milieu de AH, l'ellipse a ses axes égaux et devient un cercle.

On déduit facilement de ce théorème une construction de la courbe par points.

PonciiuN. ~ Coinpl, aJg. et géom.